Question

Расстояние между соседними боковыми рёбрами наклонной четырёхугольной призмы равны, боковое ребро 4 дм, площадь перпендикулярного сечения 18 дм2, а площадь боковой поверхности 96 дм2. Вычислите величины двугранных углов при боковых рёбрах.

Answer 1

Ответ:

Величины двугранных углов при боковых рёбрах: 30°, 150°,30°,150°

Пошаговое объяснение:

Расстояние между соседними боковыми рёбрами наклонной четырёхугольной призмы равны. Боковое ребро 4 дм. Площадь перпендикулярного сечения 18 дм², а площадь боковой поверхности 96 дм². Вычислите величины двугранных углов при боковых рёбрах.

Рассмотрим четырехугольную наклонную призму  ABCDA₁B₁C₁D₁.  Её боковые грани –  параллелограммы. Боковые рёбра наклонной призмы не перпендикулярны основанию. Боковые рёбра параллельны между собой и равны:  АА₁=ВВ₁=СС₁=DD₁=4 дм

Построим перпендикулярное сечение А₂B₂C₂D₂

• Перпендикулярным сечением призмы называют такое сечение, плоскость которого пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна к ним.

Следовательно A₂D₂⊥AA₁, A₂D₂⊥DD₁, A₂B₂⊥AA₁, A₂B₂⊥BB₁, B₂C₂⊥BB₁, B₂C₂⊥CC₁, C₂D₂⊥CC₁, C₂D₂⊥DD₁.

Так как две прямые, перпендикулярные третьей между собой параллельны,  то A₂B₂║C₂D₂, A₂D₂║B₂C₂ ⇒ А₂B₂C₂D₂ - параллелограмм.

Стороны сечения А₂B₂C₂D₂ являются расстояниями между боковыми рёбрами наклонной четырёхугольной призмы. По условию они равны: A₂B₂=C₂D₂=A₂D₂=B₂C₂ ⇒ А₂B₂C₂D₂ - ромб.

Необходимо вычислить величины двугранных углов при боковых рёбрах.

• Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

• Угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки ребра, называется линейным углом двугранного угла.

Таким образом нам надо найти углы ромба А₂B₂C₂D₂ .

РЕШЕНИЕ

• Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы   на боковое ребро:

$\bf S=P_{A_2B_2C_2D_2} \cdot AA_1$

По условию S= 96 дм², АА₁=4 дм, находим периметр сечения:

$\bf P_{A_2B_2C_2D_2} =\dfrac{S}{AA_1} =\dfrac{96}{4} =24$  (дм)

Следовательно:  A₂B₂=C₂D₂=A₂D₂=B₂C₂ =24:4=6 (дм).

S(А₂B₂C₂D₂)=18 дм² - по условию.

Площадь ромба можно найти по формуле:

$\bf S=a^{2} \cdot sin \alpha$

а - сторона ромба, α - угол между соседними сторонами.

Найдём угол α:

$\bf sin\alpha =\dfrac{S}{a^{2} } =\dfrac{18}{6^{2} } =\dfrac{18}{36} =\dfrac{1}{2}$

⇒∠α = ∠А₂=∠С₂=30°.

∠В₂=∠D₂=180°-30°=150°.

#SPJ1