Question

В основі прямої призми лежить рiвнобічна трапеція з тупим кутом В=120°. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діагональ призми дорівнює L= 6 см і утворює з площиною основи кут у-60° Визначити об'єм призми, і повну поверхню​

Answer 1

Ответ:

Объем: V = 20,25 см³

Площадь полной поверхности: S = (45 + 4,5√3) см²

Объяснение:

A₁C - диагональ призмы. А₁С = 6 см.

АС - проекция А₁С  на плоскость основания, значит ∠А₁СА = 60° - угол между диагональю и плоскостью основания.

ΔА₁СА:  ∠А₁АС = 90°,

 $\sin\angle A_1CA=\dfrac{AA_1}{A_1C}$

 $AA_1 = A_1C \cdot\sin\angle A_1CA = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

АА₁ = 3√3 см

 $\cos\angle A_1CA=\dfrac{AC}{A_1C}$

 $AC=A_1C \cdot\cos\angle A_1CA = 6 \cdot \dfrac{1}{2}=3$

AC = 3 см

Найдем стороны трапеции ABCD.

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°, а углы при одном основании равнобедренной трапеции равны.

∠D = ∠B = 120°

∠C = 180° - ∠D = 180° - 120° = 60°

ΔACD:  ∠ACD = 90°

$tg\angle ADC=\dfrac{AC}{CD}$

$CD=\dfrac{AC}{tg\; 60^\circ}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

CD = АВ = √3 см

$\sin\angle ADC=\dfrac{AC}{AD}$

$AD=\dfrac{AC}{\sin\; 60^\circ}=\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$

AD = 2√3 см

Проведем ВН и СК - высоты трапеции. В равнобедренной трапеции они отсекают равные треугольники АВН и KCD.

ΔKCD:  ∠CKD = 90°

$CK=CD\cdot \sin 60^\circ=\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=1,5$

СК = 1,5 см

$KD=CD\cdot \cos 60^\circ =\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

АН = KD = √3/2 см

$HK = AD - (AH + KD) = AD - 2KD = 2\sqrt{3}-2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

HBCK - прямоугольник, так как все углы прямые, значит

ВС = НК = √3 см

• Объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.

$V = S_{ABCD}\cdot AA_1$

$S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CK=\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}\cdot 1,5=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$  см²

$V=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\dfrac{81}{4}=20,25$

V = 20,25 см³

• Площадь полной поверхности призмы (S) равна сумме площади боковой поверхности (S₁)  и двух площадей основания ($S_{ABCD}$).

Площадь боковой поверхности:

$S_1=P_{ABCD}\cdot AA_1=(AD + BC + 2CD)\cdot AA_1$

$S_1=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}+2\sqrt{3})\cdot 3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=45$  см²

$S = S_1+2S_{ABCD}=45 +2\cdot\dfrac{9\sqrt{3}}{4}=45+4,5\sqrt{3}$

Площадь полной поверхности:

S = (45 + 4,5√3) см²