Question

Помогите
Обчислить интеграл

Answer 1

Решение и ответ:

$\displaystyle \int\limits_1^2{\left({3{x^2}-\frac{1}{{{x^2}}}}\right)dx=3}\int\limits_1^2{{x^2}}dx-\int\limits_1^2{\frac{1}{{{x^2}}}dx}=3\int\limits_1^2{{x^2}}dx-\int\limits_1^2{{x^{-2}}dx}=3\left({\frac{{{x^{2+1}}}}{{2+1}}}\right)\mathop|\limits_1^2-\left({\frac{{{x^{-2+1}}}}{{-2+1}}}\right)\mathop|\limits_1^2=$

$\displaystyle =3\left({\frac{{{x^3}}}{3}}\right)\mathop|\limits_1^2-\left({\frac{{{x^{-1}}}}{{-1}}}\right)\mathop|\limits_1^2=3\left({\frac{{{x^3}}}{3}}\right)\mathop|\limits_1^2-\left({-\frac{1}{x}}\right)\mathop|\limits_1^2=3\left({\frac{{{2^3}}}{3}-\frac{{{1^3}}}{3}}\right)-\left({-\frac{1}{2}-\left({-\frac{1}{1}}\right)}\right)=$

$\displaystyle =3\left({\frac{8}{3}-\frac{1}{3}}\right)-\left({-\frac{1}{2}+1}\right)=3\cdot\frac{7}{3}-\frac{1}{2}=7-\frac{1}{2}=6.5$

$\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi}{4}} {\frac{{dx}}{{{{\cos}^2}x}}} = tgx\mathop |\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}= tg\frac{\pi }{4} - tg\frac{\pi }{6} = 1 - \frac{{\sqrt 3}}{3}$