Question

9. Розв'яжіть показникові рівняння:
${5}^{x2 - 5x - 14 } = 1$
${2}^{x} = 128$
${3}^{5x + 1} = {3}^{2x}$
${4}^{x} = 8$
$( \frac{3}{2}) {}^{1 - 2x} = ( \frac{8}{27}) {}^{x + 3}$
$( {10}^{x - 5}) {}^{x - 6} = 100$
$( \frac{4}{5}) {}^{x} \times ( \frac{35}{12}) {}^{x} = \frac{9}{49}$
${3}^{4x - x2} = {17}^{4x - {x}^{2} }$
Друзі, прошу допомоги. Мало часу, не встигаю розібрати тему. ​

Answer 1

Всё, кроме последнего (не до конца).

Первое

$5^{x^2-5x-14}=1\\5^{x^2-5x-14}=5^0$

По монотонности показательной функции:

$x^2-5x-14=0\\D=25+4 \cdot 14=25+56=81\\\sqrt{D}=9\\x_1=\dfrac{5+9}{2}=7; \qquad x_2=\dfrac{5-9}{2}=-2$

Второе

$2^x=128\\2^x=2^7$

По монотонности показательной функции:

$x=7$

Третье

$3^{5x+1}=3^{2x}$

По монотонности показательной функции:

$5x+1=2x\\3x=-1\\x=-\dfrac 13$

Четвёртое

$4^x=8$

По определению логарифма:

$x=\log_48=\log_{2^2}2^3=\dfrac{3}{2}\log_2 2=\dfrac 32$

Пятое

$\left(\dfrac 32 \right)^{1-2x}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{x+3}=\left(\dfrac{2^3}{3^3}\right)^{x+3}=\left(\dfrac 23 \right)^{3x+9}=\left(\dfrac 32 \right)^{-3x-9}$

По монотонности показательной функции:

$1-2x=-3x-9\\x=-10$

Шестое

$(10^{x-5})^{x-6}=100\\10^{(x-5)(x-6)}=10^2$

По монотонности показательной функции:

$x^2-5x-6x+30=2\\x^2-11x+28=0\\D=11^2-4 \cdot 28=121-112=9\\x_1=\dfrac{11+3}{2}=7; \qquad x_2=\dfrac{11-3}{2}=4$

Седьмое

$\left(\dfrac 45 \right)^x \cdot \left(\dfrac{35}{12}\right)^x=\dfrac{9}{49}\\\left(\dfrac 45 \cdot \dfrac{35}{12}\right)^x=\dfrac{3^2}{7^2}\\\left(\dfrac 73 \right)^x=\left(\dfrac 37 \right)^2\\\left(\dfrac 73 \right)^x=\left(\dfrac 73 \right)^{-2}$

По монотонности показательной функции:

$x=-2$

Восьмое

$3^{4x-x^2}=17^{4x-x^2}$

Равенство будет выполняться, если в знаменателе будет ноль (потому что любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице):

$4x-x^2=0\\x(4-x)=0\\x_1=0 \qquad x_2=4$

Как доказать, что других корней нет, я не помню. Через анализ функции $f(x)=3^{4x-x^2}-17^{4x-x^2}$ с помощью производной.