Определите симметричную функцию квадратичной функции y = x²-6x+7 относительно оси абсцисс.
Ответы
Основные понятия
Построение квадратичной функции
Алгоритм построения параболы
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x - x₀)2 + y₀
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x +
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2 в частном случае при b = 0, c = 0:
Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:
x
−2
−1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.
График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
x
−2
−1
0
1
2
y
−4
−1
0
−1
−4
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.
Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.
Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.
Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 - 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.
Рассмотрим три случая:
Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Летний математический комикс с заданиями для детей
2 минуты — и комикс с подарками уже у вас на почте
Скачать
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x - 5.
Как строим:
Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x - 5.
D = b2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
√D
