Question

Выполнить аналитическое отделение корней для уравнения $x^{3} - 6x^{2} -1=0$

Answer 1

Ответ:

Итак, мы выяснили, что действительный корень у нас точно один, и находится он на отрезке x ∈ (5; 7).

Пошаговое объяснение:

x³-6x²-1=0;

уравнение третьей степени, следовательно оно имеет ровно три корня. Вопрос: сколько корней действительных (возможные варианты один или три)?

Определим сколько экстремумов имеет данная функция:

y=x³-6x²-1

ну очевидно, что область определения функции вся числовая ось. Функция непрерывна на всей области определения.

Найдем производную:

y'=(x³-6x²-1)=3x²-12x;

приравняем производную к нулю:

3x²-12x=0; 3x(x-4)=0; x₁=0; x₂=4.

Функция имеет два экстремума. Определим кто из них кто.

Берем вторую производную?

y''=(3x²-12x)'=6x-12;

y''(x₁)=6*0-12=-12<0 следовательно это точка максимума.

Определим значение  функции в точке x₁ (точке максимума):

y(x₁)=0-0-1= -1 точка максимума лежит ниже оси абсцисс. Левее максимума функция имеет возрастающий характер, и уходит в -∞, справа от максимума функция имеет убывающий характер и уходит в отрицательные значения вплоть до значения точки минимума. Здесь даже не важно координаты точки минимума (ординате ее явно отрицательна и меньше -1). Важно понять, что после прохождения минимума функция имеет возрастающий характер, и уходит в +∞ и где-то пересекая ось абсцисс. Эта точка пересечения и есть единственный корень (действительный корень) нашего уравнения.

Ну для определенности: y(x₂)=4³-6*4² -1= -33

Попробуем определить промежуток числовой оси (отрезок на оси абсцисс), на котором находится наш корень. Учтем, что абсцисса этой точки точно больше +4 (абсциссы минимума).

Для этого перепишем наше уравнение вот так:

x³=6x²+1; ⇒ x³ ≈ 6x² (при x>4 про единицу можно забыть)

третья степень числа будет равняться 6 вторым степеням 4 при значении x=6. Следовательно наш корень находится на отрезке "от чуть меньше 6 до чуть больше 6". Возьмем некоторый запас, и запишем отрезок вот так:

x ∈ (5; 7).

Итак, мы выяснили, что действительный корень у нас точно один, и находится он на отрезке x ∈ (5; 7).