Question

решите задачу пожалуйста
1)cos2a - cos4a + sin4a
2) 1-2cos2B
cosB + sinB
3) (sin2a + tg2a sin3a) ctga0
​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ cos^2a-cos^4a+sin^4a=cos^2a+(sin^4a-cos^4a)=\\\\=cos^2a-(sin^2a-cos^2a)(\underbrace{sin^2a+cos^2a}_{1})=cos^2a-sin^2a+cos^2a=-sin^2a$

Применили формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество .

$\displaystyle2)\ \ \frac{1-2cos^2\beta }{cos\beta +sin\beta }=\frac{-(2cos^2\beta -1)}{cos\beta +sin\beta }=\frac{-cos2\beta }{cos\beta +sin\beta }=-\frac{cos^2\beta -sin^2\beta }{cos\beta +sin\beta }=\\\\\\=-\frac{(cos\beta -sin\beta )(cos\beta +sin\beta )}{cos\beta +\beta }=-(cos\beta -sin\beta )=sin\beta -cos\beta$  

Применили формулы косинуса двойного угла .

$3)\ \ (sin^2a+tg^2a\cdot sin^2a)\cdot ctga=sin^2a\cdot (1+tg^2a)\cdot ctga=\\\\=sin^2a\cdot \dfrac{1}{cos^2a}\cdot ctga=\dfrac{sin^2a}{cos^2a}\cdot \dfrac{cosa}{sina}=\dfrac{sina}{cosa}=tga$  

Применили тождествa   $\bf 1+tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}\ \ ,\ \ ctga=\dfrac{cosa}{sina}$  .  

$4)\ \ \dfrac{sin^2t-1}{cos^4t}+tg^2t=\dfrac{-cos^2t}{cos^4t}+tg^2t=-\dfrac{1}{cos^2t}+tg^2t=\\\\\\=-\Big(1+tg^2t\Big)+tg^2t=-1-tg^2t+tg^2t=-1$  

Применили тождество   $\bf cos^2t=1-sin^2t\ ,\ \ 1+tg^2t=\dfrac{1}{cos^2t}$   .