Question

ПОМОГИТЕ ПЖ!! Тригонометрическое уравнение​

Answer 1

Ответ:

Решить тригонометрическое уравнение .

$\bf (\sqrt3\, sin2x+cos2x)^2+12\, cos(2x+\dfrac{\pi}{6})-12=0$  

Преобразуем выражение в скобках и воспользуемся формулой синуса суммы углов .

$\star \ \ \sqrt3\, sin2x+cos2x=2\cdot \Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\, sin2x+\dfrac{1}{2}\, cos2x\Big)=2\cdot \Big(cos\dfrac{\pi }{6}\, sin2x+sin\dfrac{\pi}{3}\, cos2x\Big)=\\\\=2\cdot sin\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)\ \ \star$

$2^2\cdot sin^2\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)+12\cdot cos\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)-12=0\\\\\star \ \ sin^2x=1-cos^2x\ \ \star \\\\4\cdot \Big(1-cos^2\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)\Big)+12\cdot cos\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)-12=0\\\\4\cdot cos^2\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)-12\, cos\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)+8=0\ \ ,\\\\zamena:\ \ t=cos\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)\ \ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ ,\\\\4t^2-12t+8=0\ \ \to \ \ \ t^2-3t+2=0\ ,\\\\t_1=1\ ,\ t_2=2\geq 1\ -\ ne\ podxodit$  

$cos\Big(2x+\dfrac{\pi}{6}\Big)=1\ \ ,\ \ \ 2x+\dfrac{\pi}{6}=2\pi k\ \ ,\ \ 2x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\ \ ,\\\\\bf x=-\dfrac{\pi}{12}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z$  

Промежутку  $[\, 0^\circ \, ;\, 360^\circ \, ]$  принадлежат корни:

$x_1=-\dfrac{\pi}{12}+\pi =\dfrac{11\pi }{12}=\boldsymbol{165^\circ }\ ,\ \ x_2=-\dfrac{\pi}{12}+2\pi =\dfrac{23\pi}{12}=\boldsymbol{345^\circ }$