Question

5. Найдите произведение всех возможных различных значений a+b , если a,b
действительные числа и удовлетворяют

$a^3 + b^3 = -6ab + 8$

Answer 1

$a^3+b^3=-6ab+8$

$a^3+b^3+6ab-8=0$

Добавим и вычтем слагаемые так, чтобы образовалась формула куба суммы:

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+6ab-8=0$

$(a+b)^3-3ab(a+b-2)-8=0$

$(a+b)^3-2^3-3ab(a+b-2)=0$

$(a+b-2)((a+b)^2+2(a+b)+4)-3ab(a+b-2)=0$

$(a+b-2)((a+b)^2+2(a+b)+4-3ab)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1 случай:

$a+b-2=0$

$a+b=2$

Заметим, что это как раз требуемая сумма.

2 случай:

$(a+b)^2+2(a+b)+4-3ab=0$

$a^2+2ab+b^2+2a+2b+4-3ab=0$

$a^2-ab+b^2+2a+2b+4=0$

$a^2+(2-b)a+b^2+2b+4=0$

Решим квадратное уравнение относительно "а":

$D=(2-b)^2-4(b^2+2b+4)=4-4b+b^2-4b^2-8b-16=$

$=-3b^2-12b-12=-3(b^2+4b+4)=-3(b+2)^2\leqslant 0$

Уравнение имеет решение, только в случае $-3(b+2)^2=0$, то есть при $b=-2$.

Тогда, само решение уравнения:

$a=-\dfrac{2-b}{2} =-\dfrac{2-(-2)}{2} =-2$

Требуемая сумма:

$a+b=-2-2=-4$

Таким образом, сумма $a+b$ может принимать значение 2 или -4. Их произведение:

$2\cdot(-4)=-8$

Ответ: -8