Question

найдите область определения функции
(оба примера)

Answer 1

Ответ:

2) Dy: х ∈ (-1/2; 1/2]

3) Dy: х ∈ (-∞; -6) ∪ (-6; -3] ∪ {2} ∪ [5; 9) ∪ (9; +∞).

Объяснение:

Найти область определения функции:

2)     $\displaystyle \bf y=\sqrt{\frac{\sqrt{2x^2-7x+3} }{-4x^2+4x+3} }$

3)     $\displaystyle \bf y=\frac{\sqrt{(x^2-2x-15)\cdot|x-2|} }{x^2-3x-54}$

2) Рассмотрим функцию:

 $\displaystyle \bf y=\sqrt{\frac{\sqrt{2x^2-7x+3} }{-4x^2+4x+3} }$

Вспомним:

• Подкоренное выражение неотрицательно.
• На ноль делить нельзя.

Следовательно:

 $\displaystyle \bf \frac{\sqrt{2x^2-7x+3} }{-4x^2+4x+3} \geq 0$

1. Рассмотрим числитель. Здесь тоже квадратный корень. Значит подкоренное выражение неотрицательно.

$\displaystyle \bf 2x^2-7x+3\geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни:

$\displaystyle \bf 2x^2-7x+3= 0\\\\D=49-24=25;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=5\\ \\x_1=\frac{7+5}{4}=3;\;\;\;\;\;x_2=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \bf 2(x-3)\left(x-\frac{1}{2}\right) \geq 0$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки на промежутках.

См. рис.

Так как неравенство больше или равно нулю, то нам нужны промежутки со знаком Плюс.

х ∈ (-∞; 1/2] ∪ [3; +∞)

2. Теперь определимся со знаменателем.

Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Числитель неотрицателен, тогда знаменатель может быть только положительным (ноль исключаем).

$\displaystyle \bf -4x^2+4x+3 > 0$

Решим аналогично:

$\displaystyle \bf -4x^2+4x+3 = 0\;\;\;\;\;|\cdot(-1)\\\\4x^2-4x-3=0\\\\D=16+48=64;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=8\\ \\x_1=\frac{4+8}{8} =\frac{3}{2}; \;\;\;\;\;x_2=\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle \bf -4\left(x-\frac{3}{2} \right)\left(x+\frac{1}{2}\right) > 0$

Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.

х ∈ (-1/2; 3/2)

А теперь объединим решения:

Получили х ∈ (-1/2; 1/2]

3) Cм. во вложении.