Question

Двое рабочих могут закончить определенную работу за 12 дней. После 8-дневной совместной работы один и них заболел. Второй рабочий закончил оставшуюся работу за 5 дней. Сколько дней понадобится каждому работнику, чтобы выполнить работу по отдельности?​

Answer 1

Пусть первый рабочий может выполнить работу за $t_1$ дней, а второй рабочий - за $t_2$ дней.

Тогда, за один день первый рабочий выполняет $\dfrac{1}{t_1}$ часть работы, а второй -  выполняет $\dfrac{1}{t_2}$ часть работы.

По условию, два рабочих могут выполнить работу за 12 дней:

$12\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)=1$

С другой стороны, работа была выполнена, когда оба рабочих работали в течение 8 дней, а затем второй рабочий - дополнительно 5 дней:

$8\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)+5\cdot\dfrac{1}{t_2}=1$

Получаем систему:

$\begin{cases} 12\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)=1 \\ 8\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)+5\cdot\dfrac{1}{t_2}=1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\dfrac{1}{t_1}$:

$\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{t_1}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{t_2}$

Подставим во второе уравнение:

$8\cdot\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_2}\right)+5\cdot\dfrac{1}{t_2}=1$

$8\cdot\dfrac{1}{12}+5\cdot\dfrac{1}{t_2}=1$

$\dfrac{8}{12}+\dfrac{5}{t_2}=1$

$\dfrac{5}{t_2}=1-\dfrac{8}{12}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$t_2=\dfrac{5\cdot3}{1}=15$

Подставим в соотношение для $\dfrac{1}{t_1}$:

$\dfrac{1}{t_1}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5}{60}-\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{60}$

$t_1=60$

Значит, первый рабочий может выполнить работу за 60 дней, а второй рабочий - за 15 дней.

Ответ: 60 дней первому рабочему, 15 дней второму рабочему