Question

Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної X значення дробу невід'ємне
$\frac{ {x}^{2} + 4x + 4}{ {x}^{2} - 2x + 1}$
​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{x^{2}+4x+4 }{x^{2} -2x+1} =\frac{(x+2)^{2} }{(x-1)^{2} }$

В числителе квадрат суммы двух выражений , значит числитель либо положителен , либо равен нулю .

В знаменателе квадрат разности двух выражений . Так как знаменатель дроби не должен равняться нулю , то знаменатель положителен .

Отсюда вывод , что частное либо положительно , либо равно нулю ,причём x ≠ 1 .

Answer 2

Решение.

$\bf \dfrac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+2)^2}{(x-1)^2}$  

В числителе и знаменателе выделили полные квадраты .

Допустимыми значениями переменной  x  будут те значения, при которых знаменатель не обращается в 0 .

  ОДЗ:   $\bf (x-1)^2\ne 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x-1\ne 0\ \ ,\ \ \underline {x\ne 1}$  

Числитель при любых значениях переменной  х  принимает неотрицательные значения, а знаменатель - только положительные значения при  $x\ne 1$ .

При делении получим, что дробь при  допустимых значениях переменной, то есть при  $\bf x\in (-\infty \, ;\, 1\, )\cup (\ 1\, ;+\infty \, )$  , принимает только неотрицательные  значения .