Question

Докажите тождество не используя такие формулы, как: сумма синусов; сумма косинусов.
$\displaystyle \frac{ \sin3 \alpha + \sin \alpha }{ \cos3 \alpha + \cos \alpha } = \tg 2 \alpha$

​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество и следствие из него:

$\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow \cos^2x=1-\sin^2x$

Синус и косинус двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

$\cos2x=2\cos^2x-1$

Синус и косинус тройного угла:

$\sin3x=3\sin x-4\sin^3 x$

$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$

Преобразуем:

$\dfrac{\sin3\alpha +\sin \alpha }{\cos3\alpha +\cos\alpha } =\dfrac{3\sin\alpha -4\sin^3\alpha +\sin \alpha }{4\cos^3\alpha -3\cos\alpha +\cos\alpha } =\dfrac{4\sin\alpha -4\sin^3\alpha }{4\cos^3\alpha -2\cos\alpha } =$

$=\dfrac{4\sin\alpha(1 -\sin^2\alpha) }{2\cos\alpha(2\cos^2\alpha -1) } =\dfrac{2\sin\alpha\cdot \cos^2\alpha }{\cos\alpha\cdot\cos2\alpha } =\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha }{\cos2\alpha } =\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha } =\mathrm{tg}\,2\alpha$