Предмет: Алгебра, автор: tar357731

треугольник периметр которого равен 30 см делится бесиктрисой на 2 треугольника периметры коорых равны 16 см и 24 см. найдите бесиктрису

Ответы

Автор ответа: Artem112
0

Пусть периметр треугольника АВС равен 30 см. Это означает, что:

P_{\mathrm{ABC}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=30

Пусть в этом треугольнике проведена биссектриса АК. При этом, периметры образовавшихся треугольников АВК и АСК соответственно равны 16 см и 24 см:

P_{\mathrm{ABK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BK}+\mathrm{AK}=16

P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AC}+\mathrm{CK}+\mathrm{AK}=24

Сложим два полученных равенства:

P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BK}+\mathrm{AK}+\mathrm{AC}+\mathrm{CK}+\mathrm{AK}

P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+(\mathrm{BK}+\mathrm{CK})+\mathrm{AC}+2\mathrm{AK}

Заметим, что отрезки ВК и СК в сумме дают отрезок ВС. Тогда:

P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}+2\mathrm{AK}

Также заметим, что в правой части записано соотношение для периметра исходного треугольника:

P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}=P_{\mathrm{ABC}}+2\mathrm{AK}

Выражаем биссектрису:

2\mathrm{AK}=P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}-P_{\mathrm{ABC}}

\mathrm{AK}=\dfrac{1}{2}( P_{\mathrm{ABK}}+P_{\mathrm{ACK}}-P_{\mathrm{ABC}})

Получим:

\mathrm{AK}=\dfrac{1}{2}\cdot( 16+24-30)=\dfrac{1}{2}\cdot10=5

Значит, длина биссектрисы равна 5 см.

Ответ: 5 см

Похожие вопросы