Question

Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 48. Реши, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных.

Ответ:
разность прогрессии: d=
.

Answer 1

Ответ:

Разность прогрессии: d = - 14,4

1. $\boldsymbol{a_1=12-1,5d}$

2. $\boldsymbol{f(d)=144+36d+1,25d^2}$

Объяснение:

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+(n-1)d$

где d - разность прогрессии.

По условию:

$3a_2+a_4=48$

$a_2=a_1+d$

$a_4=a_1+3d$

$3(a_1+d)+a_1+3d=48$

$3a_1+3d+a_1+3d=48$

$4a_1+6d=48$

$\boldsymbol{a_1=12-1,5d}$

Произведение третьего и пятого члена должно быть наименьшим.

Это будет функция, зависящая от d:

$f(d)=a_3\cdot a_5$

$a_3=a_1+2d$

$a_5=a_1+4d$

$f(d)=(a_1+2d)(a_1+4d)=a_1^2+4a_1d+2a_1d+8d^2=a_1^2+6a_1d+8d^2$

Подставим вместо а₁ выражение (12 - 1,5 d):

$f(d)=(12-1,5d)^2+6(12-1,5d)d+8d^2=$

$=144-36d+2,25d^2+72d-9d^2+8d^2=$

$=144+36d+1,25d^2$

$\boldsymbol{f(d)=144+36d+1,25d^2}$

Функция квадратичная. График - парабола, ветви направлены вверх. Наименьшее значение принимает в вершине.

• Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y=ax^2+bx+c$, находят по формуле:

• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$

$d=-\dfrac{36}{2\cdot 1,25}=-\dfrac{36}{2,5}=-14,4$

Итак, если d = - 14,4, то произведение третьего и пятого члена арифметической прогрессии будет наименьшим.