Question

Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения
sin(x +16°) - sin(x +4°) = sin6°.​

Answer 1

Формула разности синусов:

$\sin\alpha -\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\sin(x +16^\circ) - \sin(x +4^\circ) = \sin6^\circ$

$2\sin\dfrac{x +16^\circ-x -4^\circ}{2}\cos\dfrac{x +16^\circ+x+4^\circ}{2} = \sin6^\circ$

$2\sin6^\circ\cos(x +10^\circ) = \sin6^\circ$

$2\cos(x +10^\circ) = 1$

$\cos(x +10^\circ) =\dfrac{1}{2}$

$x +10^\circ =\pm 60^\circ+360^\circ n$

$\left[\begin{array}{l} x =-10^\circ+60^\circ+360^\circ n \\x =-10^\circ-60^\circ+360^\circ n \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x =50^\circ+360^\circ n \\x =-70^\circ+360^\circ n \end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}$

Найдем наибольший отрицательный корень уравнения.

Для первой серии корней найдем наибольший отрицательный корень:

$50^\circ+360^\circ n < 0$

$360^\circ n < -50^\circ$

$n < -\dfrac{5}{36}$

Наибольшее целое значение, удовлетворяющее полученному неравенству, - это число -1.

При $n=-1$:

$x=50^\circ+360^\circ\cdot(-1)=-310^\circ$

Для второй серии корней найдем наибольший отрицательный корень:

$-70^\circ+360^\circ n < 0$

$360^\circ n < 70^\circ$

$n < \dfrac{7}{36}$

Наибольшее целое значение, удовлетворяющее полученному неравенству, - это число 0.

При $n=0$:

$x=-70^\circ+360^\circ\cdot0=-70^\circ$

Из двух найденных значений для серий корней -310° и -70° наибольшим является значение -70°.

Ответ: -70°

Answer 2

***

$\displastyle \bf sin \Big (x+16^{\circ}\Big ) - sin \Big (x +4^{\circ}\Big ) = sin6^{\circ}$

используем формулу :

$\displastyle \bf sin \alpha -sin\beta=2sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha +\beta}{2}$

=>

$\displaystyle \bf sin\Big(x+16^{\circ}\Big)-sin\Big(x+4^{\circ}\Big)=2sin6^{\circ}\cdot cos\Big(x+10^{\circ}\Big)$

$\displaystyle \bf 2sin6^{\circ} \cdot cos\Big(9x+10^\circ}\Big)=sin6^{\circ}$       $\boxed{2sin6^{\circ} \ne 0}$

$\displasystyle \bf cos\Big(x+10^{\circ}\Big)=\frac{1}{2}$

$\displastyle \bf x+10^{\circ}=\pm60+360^{\circ}n \: \: \ \ \ \ \ \ \boxed{n\in Z}$

$\displaytyel \bf \Big[50^\circ +360^{\circ}n\\\Big[ -70^{\circ}+360^{\circ}n \: \: \: \: \: \: \: \: n\in Z$

ответ:

наибольший отрицательный корень

$\displaystyle \bf x=-70^{\circ}$