Question

100 балов! срочно! решить уравнение!
$3 \sin {}^{2} (x) - 4 \sin(x) \cos(x) + \cos {}^{2} (x) = 0$
в ответ записать все корни на промежутке [0;рі]​

Answer 1

Решение.

 Задано однородное тригонометрическое уравнение

$\bf 3sin^2x-4sinx\, cosx+cos^2x=0\ \ \Big|:cos^2x\ne 0\\\\3\, tg^2x-4\, tgx+1=0\\\\\dfrac{D}{4}=2^2-3\cdot 1=1\ \ ,\ \ (tgx)_1=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac{1}{3}\ \ ,\ \ (tgx)_2=\dfrac{2+1}{3}=1$

$\displaystyle \bf 1)\ \ tgx=\frac{1}{3}\ \ \to \ \ \ x=arctg\frac{1}{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\2)\ \ tgx=1\ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi k\ \ ,\ k\in Z\\\\3)\ \ x\in [\ 0\ ;\pi \ ]:\ \ x_1=arctg\frac{1}{3}\ ,\ \ x_2=\frac{\pi}{4}\ .$

Ответ:  $\bf x_1=arctg\dfrac{1}{3}+\pi n\ ,\ x_2=\dfrac{\pi }{4}+\pi k\ \ ,\ \ n,k\in Z\ \ ;$

             $\bf x=arctg\dfrac{1}{3}\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{4}\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]$