докажите что для любого натурального числа n уравнение x^3+y^3 =n имеет конечное число целочисленных решений
Ответы
Объяснение:
x^3+y^3=n
исходя из формулы суммы кубов разложим левую часть на множители
(x+y)(x^2-xy+y^2)=n
Так как нас интересуют только целочисленные решения (т.е. х и y - целые числа), то x+y=а, x^2-xy+y^2=b - целые числа.
Тогда ab=n. Натуральное число n можно лишь конечным числом способов разложить на целые множители а и b, поэтому получаем, что решение исходного уравнения в целых числах равносильно нахождению целочисленных решений в конечном числе систем уравнений x+y=a, x^2-xy+y^2=b.
Выразим у из первого уравнения и подставим во второе.
В результате получим квадратное уравнение х^2-х(a-x)+(a-x)^2=b,
которое имеет не более двух решений.
Каждому целочисленному решению х э т о г о уравнения соответствует одно целочисленное решение исходной системы, а именно (х, а-х).
(получается что для конечного числа сочетаний вариантов (a;b) мы в каждом случае имеем не более 2-х решений, что значит что и общее возможное число решений конечное число).
Доказано.