Question

Найти все значения r. ​

Answer 1

Неравенство будет выполняться при всех действительных значениях x , когда дискриминант будет меньше нуля .

$\displaystyle\bf\\x^{2} -(2+r)\cdot x+4 > 0\\\\D=(2+r)^{2} -4\cdot 4=4+4r+r^{2} -16=r^{2} +4r-12\\\\r^{2} +4r-12 < 0\\\\r^{2} +4r-12=0\\\\Teorema \ Vieta \ :\\\\r_{1} +r_{2} =-4\\\\r_{1} \cdot r_{2} =-12\\\\r_{1}=-6 \ \ \ ; \ \ \ r_{2} =2\\\\(r-2)(r+6) < 0\\\\\\+ + + + + (-6) - - - - - (2) + + + + +$

                       //////////////////

$\displaystyle\bf\\Otvet \ : \ r\in(-6 \ ; \ 2)$

Answer 2

Решение.

 График квадратичной функции  $\bf y=ax^2+bx+c$  расположен выше оси ОХ и ветви параболы направлены вверх при   $\bf a > 0\ ,\ D < 0\ .$

Тогда будет выполняться неравенство   $\bf ax^2+bx+c > 0$  .

  $\bf x^2-(2+r)\cdot x+4 > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ a=1 > 0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=(2+r)^2-4\cdot 1\cdot 4=4+4r+r^2-16=r^2+4r-12 < 0\ .$

По теореме Виета определим корни квадратного трёхчлена . Это будут   $\bf r_1=-6\ ,\ r_2=2$   .

Тогда   $\bf r^2+4r-12=(r+6)(r-2)$  .

Решим неравенство   $\bf (r+6)(r-2) < 0$    методом интервалов .

Знаки:    + + + + + (-6) - - - - - (2) + + + + +

 Ответ:  $\boldsymbol{r\in (-6\ ;\ 2\ )}\ .$