Question

$y=x^3 + 8x^2 +13x - 15$
найти точку минимума функции

за ранее спасибо за подробное решение

Answer 1

Ответ:

${x_{\min }} = - 1$

Пошаговое объяснение:

Найдем производную функции:

$y' = ({x^3} + 8{x^2} + 13x - 15)' = ({x^3})' + 8({x^2})' + 13(x)' - (15)' = 3{x^2} + 16x + 13.$

Приравняем производную нулю:

$3{x^2} + 16x + 13 = 0.$

Так как $3 - 16 + 13 = 0$, число ${x_1} = - 1$ является корнем данного уравнения. Тогда по теореме Виета

${x_1}{x_2} = \displaystyle\frac{{13}}{3};\\\\{x_2} = - \displaystyle\frac{{13}}{3}.$

Так как производная представляет собой квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом, ветки такой параболы направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью абсцисс, то

$y' < 0$ при $x \in \left( { - \displaystyle\frac{{13}}{3};\,\, - 1} \right),$

$y' > 0$ при $x \in \left( { - \infty ;\,\, - \displaystyle\frac{{13}}{3}} \right) \cup ( - 1;\,\, + \infty ).$

Таким образом, точка ${x_2} = - \displaystyle\frac{{13}}{3}$ является точкой максимума, а ${x_1} = - 1$ — точкой минимума.

$\min f(x)=f(-1)=(-1)^3+8(-1)^2+13(-1)-15=-1+8-13-15=-21.$