Предмет: Математика, автор: irinamahige

Треугольники ABC и ABD вписаны в одну и ту же окружность диаметра AB=18. Прямая, проходящая через D перпендикулярно AB, пересекает AB в точке P, сторону AC в точке Q и продолжение стороны BC в точке R.
Найдите длину DP, если PR=18 и PQ= 4.

Ответы

Автор ответа: natalyabryukhova
2

Ответ:

Длина DP равна 6√2 ед.

Пошаговое объяснение:

Треугольники ABC и ABD вписаны в одну и ту же окружность диаметра AB = 18. Прямая, проходящая через D перпендикулярно AB, пересекает AB в точке P, сторону AC в точке Q и продолжение стороны BC в точке R.

Найдите длину DP, если PR = 18 и PQ = 4.

Дано: Окр.О;

ΔABC и ΔABD - вписанные;

АВ - диаметр.

АВ = 18;

DR ⊥ AB; DR ∩ AB = P; DR ∩ AC = Q; DR ∩ BC = R;

PR = 18; PQ= 4.

Найти: PQ.

Решение:

  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.

⇒ ΔABC и ΔABD - прямоугольные.

1. Рассмотрим ΔAPQ и ΔQCR - прямоугольные.

  • Вертикальные углы равны.

⇒ ∠AQP = ∠RQC (вертикальные)

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠PAQ = 90° - ∠AQP

    ∠QRC = 90° - ∠RQC

∠PAQ  = ∠QRC

2. Рассмотрим ΔAPQ и ΔRPB - прямоугольные.

∠PAQ  = ∠QRC (п.1)

⇒ ΔAPQ ~ ΔRPB (по двум углам)

Пусть АР = х; тогда РВ = (18 - х)

Составим отношения сходственных сторон.

\displaystyle        \frac{PQ}{PB}=\frac{AP}{PR}\\ \\ \frac{4}{18-x}=\frac{x}{18}  \\\\18x-x^2=72\\\\x^2-18x+72=0\\\\D=324-4\cdot72=36\\\\x_1=\frac{18+6}{2}=12;\;\;\;\;\;x_2=\frac{18-6}{2}=6

Если АР = 12, то РВ = 18 - 12 = 6

Если АР = 6, то РВ = 18 - 6 = 12

Для нашего рисунка удобней применить второй вариант:

АР = 6, РВ = 12.

3. Рассмотрим ΔADB - прямоугольный.

DP - высота.

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

⇒ BD² = AP · PB = 6 · 12 = 72

BD = √72 = 6√2

Длина DP равна 6√2 ед.

#SPJ1

Приложения:

irinamahige: Большое спасибо!
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: Karina10379
Предмет: Українська мова, автор: Богдана20065252