Question

В июле планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое количество лет). Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года, причем r в пять раз больше номера текущего года; для некоторого момента времени номером текущего года будем называть количество лет полных лет, прошедших с момента взятия кредита, увеличенное на единицу;с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет взят кредит, если известно, что переплата по кредиту составила 35% от взятой изначально суммы?

Решение можно кратко

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

Составим таблицу в соответствии с условием. Введём в ней 3 строки (январь — период до выплаты, когда долг увеличивается на r%, февраль-июнь — период выплаты, июль-декабрь — период после выплаты, то, каким долг должен стать) и n+1 столбец (от нулевого года — года взятия кредита — до n-го — года полного погашения).

Пусть S — сумма долга. Тогда в январе она увеличится на r%, то есть в $1+\dfrac{r}{100}$ раз. Для некоторого i-го года этот коэффициент будет равен $1+\dfrac{5i}{100}=1+\dfrac{i}{20}$. Поскольку долг каждый раз в июле уменьшается на одно и то же число, то эти уменьшающие части равны, и равны они $\dfrac{1}{n}\cdot S$ (то есть в первый год долг равен $S-\dfrac{1}{n}\cdot S=\dfrac{n-1}{n}\cdot S$, во второй — $\dfrac{n-1}{n}\cdot S-\dfrac{1}{n}\cdot S=\dfrac{n-2}{n}\cdot S$ и так далее, пока долг не станет равным нулю). В таблице выплаты пока оставим неизвестными. В соответствии с этим заполним таблицу (см. прикреплённое фото).

Известно, что переплата по кредиту составила 35%, то есть сумма выплат в 1,35 раз больше суммы кредита. Это можно записать следующим образом: $\displaystyle \sum_{i=1}^n{x_i}=1{,}35S$. Каждая выплата — это разность между долгом в январе и долгом в июле, то есть $x_i=\left(1+\dfrac{i}{20}\right)\cdot\dfrac{n+1-i}{n}\cdot S-\dfrac{n-i}{n}\cdot S$

Преобразуем это выражение:

$\left(1+\dfrac{i}{20}\right)\cdot\dfrac{n+1-i}{n}\cdot S-\dfrac{n-i}{n}\cdot S=\dfrac{n+1-i}{n}\cdot S+\dfrac{i(n+1-i)}{20n}-\dfrac{n-i}{n}\cdot S=\\=\dfrac{1}{n}\cdot S+\dfrac{in+i-i^2}{20n}\cdot S=\dfrac{S}{n}\left(1+\dfrac{i(n+1)}{20}-\dfrac{i^2}{20}\right)$

Подставим i-ю выплату в уравнение с суммой:

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{\dfrac{S}{n}\left(1+\dfrac{i(n+1)}{20}-\dfrac{i^2}{20}\right)}=1{,}35S$

Поскольку суммирование идёт по переменной i, S и n мы считаем константами и можем выносить их за знак суммы:

$\displaystyle \dfrac{S}{n}\sum_{i=1}^n{\left(1+\dfrac{i(n+1)}{20}-\dfrac{i^2}{20}\right)}=1{,}35S\\\dfrac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n{1}+\sum_{i=1}^n{\dfrac{i(n+1)}{20}}-\sum_{i=1}^n{\dfrac{i^2}{20}}}\right)=1{,}35\\\sum_{i=1}^n{1}+\dfrac{n+1}{20}\sum_{i=1}^n{i}-\dfrac{1}{20}\sum_{i=1}^n{i^2}=1{,}35n\\n+\dfrac{n(n+1)^2}{40}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{120}=1{,}35n\\120+3(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=162\\n^2+3n-40=0\\n=-8;5$

Смыслу задачи удовлетворяет только n = 5 — на столько лет и взяли кредит.