Question

Вася і Петя грають в таку гру. На дошці написані два числа: 1/2021 і 1/2022. На кожному ходу Вася називає будь-яке число x, а Петя збільшує одне з чисел на дошці (яке захоче) на x. Вася виграє, якщо в якийсь момент одне з чисел на дошці стане рівним 1. Чи зможе Вася виграти, як би не діяв Петя?

Answer 1

Приведем числа к общему знаменателю:

$\dfrac{1}{2021} =\dfrac{2022}{2021\cdot2022}$

$\dfrac{1}{2022} =\dfrac{2021}{2021\cdot2022}$

Заметим, что если к любому из этих чисел прибавить некоторое количество раз число $\dfrac{1}{2021\cdot2022}$, то будет получено число 1. Для числа $\dfrac{1}{2022}$ потребуется $2021\cdot2022-2021=2021\cdot(2022-1)=2021^2$ таких прибавлений, а для числа $\dfrac{1}{2021}$ - соответственно $2021^2-1$.

Таким образом, Вася сможет выиграть, называя на каждом ходу число $\dfrac{1}{2021\cdot2022}$.

Ответ: да, сможет