Question

Решите уравнение
Укажите корни на отрезке

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

    2sin²x + 5cosx = 4 ;      xЄ [- 3π ; 0 ] ;

    2( 1 - cos²x ) + 5cosx - 4 = 0 ;

    2 - 2cos²x + 5cosx - 4 = 0 ;

   - 2cos²x + 5cosx - 2 = 0 ;

     2cos²x  - 5cosx + 2 = 0 ;

      введемо нову змінну   t = cosx ,  ( | t | ≤ 1 )  :    

     2t² - 5t + 2 = 0 ;  

      D = 25 - 16 = 9 > 0 ;   t = 1/2   ;   t = 2 > 1 .

      Повернемося до змінної   х :

         cosx = 1/2 ;

        x = ± π/3 + 2πn , nЄ Z .   Відберемо корені з проміжка :

   x = - π/3 ;     x = - 1 2/3 π ;    x = - 2 1/3 π .

Answer 2

Ответ:

$-\frac{\pi}{3} ~~;~~-\frac{5\pi}{3} ~~;~~-\frac{7\pi}{3}$

Пошаговое объяснение:

$2\sin^2x+5\cos x =4$

Согласно основному тригонометрическому тождеству заменим $\sin^2x = 1-\cos^2x$ , 4 перенесём к левой части и все это приравним к нулю:

$2(1-\cos^2x)+5\cos x-4=0$

Раскроем скобки:

$2-2\cos^2x+5\cos x-4=0$

2 и -4 подобные , а с  cos x сделаем замену , тогда cos x = t:

$-2-2t^2+5t=0$

Если перед уравнением стоит отрицательный знак , то все знаки уравнения меняются на противоположный , распишем по порядку квадратного уравнения , исходя из вида ax²±bx±c=0:

$2+2t^2-5t=0\\2t^2-5t+2=0$

Укажем коэффициенты данного уравнения и найдём дискриминант по формуле:  b²-4ac:

$a=2~~~b=-5~~~c=2\\D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$

D>0 , значит данное уравнение будет иметь два корня , а их найдем по формуле: $\frac{-\text b\pm\sqrt{\text D} }{2\text a}$

$t_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{9} }{2\cdot 2} =\frac{5\pm 3}{4} \Rightarrow t_1=2~~~~t_2=\frac{1}{2}$

Сделаем обратную замену t = cos x , где :

$t_1\Rightarrow \cos x =2 ~~~~ t_2\Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

Косинус принимает промежуток от -1 до 1 , 2>1 , значит cosx=2∉R , а cosx=$\frac{1}{2}$ принажлежит к данному промежутку и на единичной окружности имеет следущие значения:

$\cos x= \frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{3} +2\pi n ~,~ n\in Z\\\\x=\frac{5\pi}{3} +2\pi n ~,~n\in Z$

n - это целое число , в эти корни мы должны подставить такие целые числа , при котором будут удовлетворять неравенство $-3\pi \leq x\leq 0$ или же корень должен принадлежать к промежутку $[-3\pi;0]$  , но в наш промежуток должны входить отрицательные корни , т.к промежуток находится слева от нуля , значит  $n \neq 0,1,2,3...$ ;тогда  $n=-1,-2,-3...$

Подставим поочередно наши n - рассмотрев первый корень:

При n= -1 :  $x=\frac{\pi}{3} +2\pi\cdot (-1)=\frac{\pi}{3} -2\pi= -\frac{5\pi}{3}$ , корни которые будут входить в промежуток  [-3π ; 0] будут со знаменятелями 3 , достаточно - просто увериться , что x≥-3π , тогда для удобства превратим -3π в дробь  , которая будет со знаменателем 3 , это : $-\frac{9\pi}{3}$ , тут же можно удобно сравнить -5π/3 и -9π/3 дроби с одинаковыми знаменателями , сравниваются только числители -5π>-9π , если  x больше , тогда корень входит в промежуток [-3π ; 0] .

При n= -2 :   $x=\frac{\pi}{3} +2\pi\cdot(-2)=\frac{\pi}{3} -4\pi=-\frac{11\pi}{3}$ , -11π/3<-9π/3 ⇔-11π<-9π , не входит в промежуток [-3π ; 0] , анологично , что при n=-3,-4,-5... тоже не будет входить в промежуток [-3π ; 0] .

Тогда , рассмотрим $x=\frac{5\pi}{3} +2\pi n ~,~n\in Z$ при отрицательных n :

При n= -1 : $x=\frac{5\pi}{3} +2\pi \cdot(-1)=\frac{5\pi}{3} -2\pi=-\frac{\pi}{3}$ , -π/3>-9π/3 ⇔ -π>-9π , входит в промежуток [-3π ; 0]

При n= -2 : $x=\frac{5\pi}{3} +2\pi \cdot (-2)=\frac{5\pi}{3} -4\pi=-\frac{7\pi}{3}$ , -7π/3>-9π/3 ⇔ -7π>-9π , входит в промежуток [-3π ; 0]

При n= -3 : $x=\frac{5\pi}{3} +2\pi \cdot (-3)=\frac{5\pi}{3} -6\pi=-\frac{13\pi}{3}$ , -13π/3<-9π/3 ⇔ -13π<-9π , не входит в промежуток [-3π ; 0] , также анологично , что при n= -4,-5 ,-6... тоже не будет входить в промежуток .