Question

Помогите найти наибольшее значение функции

Answer 1

Ответ:

наибольшее значение функции у= 2 при значении аргумента х = 2,5

Пошаговое объяснение:

Обозначим  

$\displaystyle \boldsymbol { log_{0,5}\;(3-x) = z}$

Тогда мы получим обыкновенное квадратное уравнение

y = 2z - z² + 1

графиком которого является парабола ветвями вниз.

Максимум этой функции достигается в вершине параболы.

Координата по оси  х вершины параболы рассчитывается по формуле

$\displaystyle x_0=\frac{-b}{2a}$

в нашем случае

a = (-1)

b = 2

     $\displaystyle z_0=\frac{-2}{2*(-1)}=1$   ,

и тогда  максимум функции равен у(z₀) = y(1)  = 2*1 - 1² +1  = 2

Посмотрим, при каком значении х достигается этот максимум.

Вернемся к нашим обозначениям и воспользуемся свойством логарифма

logₐ a = 1

В нашем случаем мы имеем

$\displaystyle \boldsymbol { log_{0,5}\;(3-x) = 1}\\\\\\3-x = 0,5\\\\x= 2.5$

Таким образом, максимум функции  

$\displaystyle \boldsymbol {y=2 log_{0,5}\;(3-x) - log^2\;_{0,5}\;(3-x)+1}$  

достигается при х =2,5 и равен   у(2,5) = 2

Для проверки (!) просто построим график при помощи сервиса построения графиков.