Юлий задумал пять чисел и посчитал их всевозможные попарные суммы. Получились числа 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 и 15. Какие числа он задумал?
Ответы
Ответ:
-1, 1, 3, 5, 10
Пошаговое объяснение:
Обозначим числа А[1], А[2], А[3], А[4], А[5] в порядке их возрастания
А[1]<=А[2]<=А[3]<=А[4]<=А[5]
тогда сложив их суммы, получим
(А[1]+А[2])+(А[1]+А[3])+ (А[1]+А[4])+ (А[1]+А[5])+
(А[2]+А[3])+(А[2]+А[4])+(А[2]+А[5])+
(А[3]+А[4])+(А[3]+А[5])+(А[4]+А[5])=0+2+4+4+6+8+9+11+13+15;
4(A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5])=72;
A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]=72:4=18
очевидно, что 0 - сумма двух наименьших чисел, а 15 двух наибольших
А[1]+А[2]=0; А[4]+А[5]=15
отсюда
A[3]=(A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5])-(А[1]+А[2])-(А[4]+А[5])=18-0-15=3
далее 2=A[1]+A[3] (2 - вторая по возрастанию сумма, A[1]+A[2] - мы уже определили что это 0, а любая другая сумма будет очевидно больше чем A[1]+A[3], так как будут использоваться большие по значению слагаемые)
аналогичные рассуждения в обратную сторону дают 13=A[3]+A[4]
откуда A[1]=(A[1]+A[3])-A[3]=2-3=-1;
A[4]=(A[3]+A[4])-A[3]=13-3=10
далее находим оставшиеся
A[2]=(A[1]+A[2])-A[1]=0-(-1)=1
A[5]=(A[4]+A[5])-A[4]=15-10=5
итого -1, 1, 3, 5, 10 - задуманные числа