Question

В автобусе продаются шестизначные билеты от 000000 до 999999. Митя считает билет счастливым, если сумма первых 3 чисел равна сумме последних 3, а Петя - если сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Митя и Петя вместе зашли в автобус , купили 2 последовательных билета, и для каждого его билетик оказался счастливым ( для Мити по митингов правилу, а для Пети - по петитному) при этом митя взял билет с меньшим номером. Для скольких пар соседних билетов это могло случиться? Билеты 999999 и 000000 последовательными не считаем.

Answer 1

Ответ:

Условие задачи выполняется для 375 пар соседних билетов

Пошаговое объяснение:

1) Пусть при увеличении номера на единицу не происходит переход через десяток. Тогда два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}}$  и $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}({a_6} + 1)} .$

По условию

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} = {a_4} + {a_5} + {a_6},\\{a_1} + {a_3} + {a_5} = {a_2} + {a_4} + {a_6} + 1.\end{array} \right.$

Отнимая от первого уравнение второе, получаем

${a_2} - {a_5} = {a_5} - {a_2} - 1;\\\\2({a_2} - {a_5}) = - 1.$

Число слева четное, а справа нечетное, значит такой вариант невозможен.

2) Пусть при увеличении номера на единицу происходит переход через десяток в одном разряде. Тогда два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}9}$  и $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}({a_5} + 1)0} .$

По условию

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} = {a_4} + {a_5} + 9,\\{a_1} + {a_3} + {a_5} + 1 = {a_2} + {a_4} + 0.\end{array} \right.$

Отнимая от первого уравнение второе, получаем

${a_2} - {a_5} - 1 = {a_5} - {a_2} + 9;\\\\2({a_2} - {a_5}) = 10;\\\\{a_2} - {a_5} = 5;\\\\{a_2} = {a_5} + 5.$

Подставляя найденное значение обратно во второе уравнение, получаем

${a_1} + {a_3} + {a_5} + 1 = {a_5} + 5 + {a_4};\\\\{a_1} + {a_3} = {a_4} + 4.$

Вместо ${a_5}$ можно подставить любую цифру от 0 до 4 (5 вариантов), а вместо ${a_4}$ — любую из цифр 0 до 10.

При подстановке вместо ${a_4}$ цифр от 0 до 5 получается соответственно от 5 до 10 вариантов сумм ${a_1} + {a_3}$, а при подстановке вместо ${a_4}$ цифр от 6 до 9 получается соответственно от 9 до 6 вариантов сумм ${a_1} + {a_3}$, т. к. каждое из слагаемых не может превышать 9.

Всего вариантов разбиения ${a_1} + {a_3}$ на суммы

$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 75.$

По правилу произведения общее количество таких билетов равно $5 \cdot 75 = 375.$

Можно показать, что с переходом через десяток в нескольких разрядах решений не получается.

Если два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}99}$ и $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}({a_4} + 1)00} ,$ то

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} = {a_4} + 9 + 9,\\{a_1} + {a_3} + 0 = {a_2} + {a_4} + 1 + 0.\end{array} \right.$

Отнимая от первого уравнение второе, получаем

${a_2} = 17 - {a_2};\\\\2{a_2} = 17.$

Если два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}999}$ и $\overline {{a_1}{a_2}({a_3} + 1)000}$, то

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9 + 9 + 9,\\{a_1} + {a_3} + 1 + 0 = {a_2} + 0 + 0.\end{array} \right.$

Отнимая от первого уравнение второе, получаем

${a_2} - 1 = 27 - {a_2};\\\\2{a_2} = 28;\\\\{a_2} = 14.$

Если два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}{a_2}9999}$  и $\overline {{a_1}({a_2} + 1)0000}$, то

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + 9 = 9 + 9 + 9,\\{a_1} + 0 + 0 = {a_2} + 1 + 0 + 0.\end{array} \right.$

Отнимая от первого уравнение второе, получаем

${a_2} + 9 = 26 - {a_2};\\\\2{a_2} = 35.$

Наконец, если два последовательных билета имеют номера $\overline {{a_1}99999}$ и $\overline {({a_1} + 1)00000}$, то

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + 9 + 9 = 9 + 9 + 9,\\{a_1} + 1 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0.\end{array} \right.$

Система не имеет решений.