Question

81. Докажите, что выражение 1) (у-3)(у-1)+5; 2) (у-4)(y-6)+3 положительно для любого значения у.​

Answer 1

Преобразуем выражения:

$(y-3)(y-1)+5=y^2-y-3y+3+5=y^2-4y+8=$

$=y^2-4y+4+4=(y-2)^2+4$

$(y-4)(y-6)+3=y^2-6y-4y+24+3=y^2-10y+27=$

$=y^2-10y+25+2=(y-5)^2+2$

Поскольку квадрат любой величины принимает только неотрицательные значения, то сумма квадрата с некоторым положительным числом принимает только положительные значения.

$(y-3)(y-1)+5= \underset{ > 0}{\underbrace{\underset{\geqslant 0}{\underbrace{(y-2)^2}}+4}} > 0$

$(y-4)(y-6)+3= \underset{ > 0}{\underbrace{\underset{\geqslant 0}{\underbrace{(y-5)^2}}+2}} > 0$