Основанием правильной пирамиды является многоугольник со стороной 10 dm и суммой внутренних углов 720◦. Найдите площадь (dm2) боковой поверхности пирамиды, если её боковое ребро равно 13 dm.
Ответы
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 360 дм².
Пошаговое объяснение:
Нужно знать:
1) правильная пирамида - это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник;
2) все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники;
3) площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле Sбок = 1/2 · Росн · Н, где Н - апофема, т.е. высота боковой грани;
4) сумму внутренних углов многоугольника вычисляют по формуле:
180°(n - 2), где n - число сторон многоугольника;
5) правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Поэтому:
Т.к. по условию сумма внутренних углов многоугольника равна 720°, то число сторон многоугольника равно:
180°(n - 2) = 720°,
n - 2 = 720 : 180,
n - 2 = 4,
n = 4 + 2,
n = 6.
Значит, в основании пирамиды лежит правильный 6-угольник, тогда его периметр равен: Росн = 6 · 10 = 60 (дм).
Найдем апофему боковой грани (см. рис.).
Проведем высоту равнобедренного треугольника. Т.к. она является и медианой, т.е. делит сторону основания пополам, то половинка стороны основания равна 5 дм.
Имеем: прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 дм (боковое ребро) и катетом 5 дм, тогда по теореме Пифагора второй катет (апофема) будет равен: Н² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, значит, Н = 12 дм.
Итак, Sбок = 1/2 · 60 · 12 = 360 (дм²).
