Question

У натурального числа n нашлись такие различные натуральные делители a и b, что (а-1)(b+2)=n-2.
Докажите, что 2n является квадратом натурального числа.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Раскроем сначала скобки и выразим n:

$(a-1)(b+2)=n-2\\n=ab+2a-b$

Так как $a$ и $b$ - это натуральные делители, то верно что:

$\dfrac{n}{a}=\dfrac{ab+2a-b}{a}=b+2-\dfrac{b}{a}$ есть натуральное число.

$\dfrac{n}{b}=\dfrac{ab+2a-b}{b}=a+\dfrac{2a}{b}-1$ также есть натуральное число.

Соответственно делаем вывод, что:

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{b}{a}=k,\\\\\dfrac{2a}{b}=m\end{array}\right;\;\;\;\;\;k,\;m\in\mathbb{N}$

Перемножим теперь строки системы:

$km=2$

Ну а это возможно только в двух случаях:

1) Когда $m=2,\;k=1$.

2) И, наоборот, когда $m=1,\;k=2$.

Рассмотрим первый случай:

$\dfrac{b}{a}=1,\;a=b$

Но это противоречит исходному условию $a\ne b$.

Второй случай дает $\dfrac{b}{a}=2$.

Таким образом, мы показали, что $b=2a$.

Теперь подставим это в $n$:

$n=ab+2a-b=2a^2$

Соответственно находим $2n$:

$2n=4a^2=\left(2a\right)^2=c^2$.

Доказано!