Question

Скільки цілих коренів має рівняння ||||х| - 4| -3| - 2| =1

Answer 1

Уравнение $|f(x)|=a$:

1) при $a > 0$ равносильно совокупности $\left[\begin{array}{l} f(x)=a \\ f(x)=-a \end{array}\right.$

2) при $a=0$ равносильно уравнению $f(x)=0$

3) при $a < 0$ не имеет корней

Рассмотрим уравнение:

$||||x| - 4| -3| - 2| =1$

Переходим к совокупности:

$\left[\begin{array}{l} |||x| - 4| -3| - 2 =1 \\ |||x| - 4| -3| - 2 =-1\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} |||x| - 4| -3| =2+1 \\ |||x| - 4| -3| =2-1\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} |||x| - 4| -3| =3 \\ |||x| - 4| -3| =1\end{array}\right.$

Для каждого из двух уравнений вновь записываем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} ||x| - 4| -3 =3 \\ ||x| - 4| -3 =-3\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} ||x| - 4| -3 =1 \\ ||x| - 4| -3 =-1\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} ||x| - 4| =3+3 \\ ||x| - 4| =3-3 \\ ||x| - 4| =3+1 \\ ||x| - 4| =3-1 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} ||x| - 4| =6 \\ ||x| - 4| =0 \\ ||x| - 4| =4 \\ ||x| - 4| =2 \end{array}\right.$

Для второго случая подмодульное выражение должно равняться нулю, для остальных - вновь переходим к совокупностям:

$\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} |x| - 4 =6\\ |x| - 4 =-6\end{array}\right. \\ |x| - 4 =0 \\ \left[\begin{array}{l} |x| - 4 =4\\ |x| - 4 =-4\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} |x| - 4 =2\\ |x| - 4 =-2\end{array}\right. \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} |x| =4+6\\ |x| =4-6 \\ |x| =4+0 \\ |x| =4+4\\ |x| =4-4 \\ |x| =4+2\\ |x| =4-2 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} |x| =10\\ |x| =-2 \\ |x| =4 \\ |x| =8\\ |x| =0 \\ |x| =6\\ |x| =2 \end{array}\right.$

Из полученных уравнений:

- уравнение $|x|=-2$ не имеет решений;

- уравнение$|x|=0$ имеет одно решение $x=0$:

- остальные уравнения (5 штук) дают по два решения каждое

Таким образом, всего уравнение имеет $1+5\cdot2=11$ корней:

$x\in\{0;\ \pm10;\ \pm4;\ \pm8;\ \pm6;\ \pm2\}$

Все полученные корни являются целыми.

Ответ: 11