Question

100 балов! срочно! решить уравнение! с подробным пошаговым решением
$\cos(3x) + \cos( \frac{5x}{2} ) = 2$
​

Answer 1

Ответ:

$x = 4\pi m,\,\,m \in {\rm{Z}}$

Объяснение:

Так как $\cos \alpha \le 1$ при всех значениях $\alpha ,$ для того, чтобы сумма косинусов двух разных аргументов была равна 2, требуется, чтобы каждый из косинусов был равен 1 одновременно.

$\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x = 1,\\\cos \displaystyle\frac{{5x}}{2} = 1;\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}3x = 2\pi k,\\\displaystyle\frac{{5x}}{2} = 2\pi n;\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}x = \displaystyle\frac{{2\pi k}}{3},\\x = \displaystyle\frac{{4\pi n}}{5},\,\,k,\,\,n \in {\rm{Z}}.\end{array} \right.$

Тогда

$\displaystyle\frac{{2\pi k}}{3} = \displaystyle\frac{{4\pi n}}{5};\\\\5k = 6n;\\\\k = 6m.$

Значит

$x = \displaystyle\frac{{2\pi k}}{3} = \displaystyle\frac{{2\pi \cdot 6m}}{3} = 4\pi m,\,\,m \in {\rm{Z}}.$