Question

Знайдіть суму всіх чотирицифрових натуральних чисел. у десятковому за писі яких беруть участь лише цифри 1. 2. 3. 4. 5. причому кожна цифра зустрічаеться не більше, ніж один раз.

Answer 1

Ответ:

Сумма равна 399 960

Пошаговое объяснение:

Выбрать четыре цифры из пяти — то же самое, что выбрать одну цифру, которую следует отбросить. После отбрасывания цифры остальные нужно переставить между собой всеми возможными способами.

Например, отбросили цифру 1, тогда цифры 2, 3, 4, 5 дают ${P_4} = 4! = 24$ варианта перестановки. Тогда каждая из четырех цифр на каждом месте будет встречаться по 6 раз. В сумме на каждом месте (единицы, десятки, сотни, тысячи) получаем $6(2 + 3 + 4 + 5) = 84.$ Тогда сумма этих чисел равна $84 + 10 \cdot 84 + 100 \cdot 84 + 1000 \cdot 84 = 93\,324.$

Аналогично, если отбросить цифру 2, то оставшиеся цифры 1, 3, 4, 5 образуют числа, дающие в сумме $1111 \cdot 78 = 86\,658$; если отбросить цифру 3 — $1111 \cdot 72 = 79\,992$; если отбросить цифру 4 — $1111 \cdot 66 = 73\,326$; если отбросить цифру 5 — $1111 \cdot 60 = 66\,660$.

Всего:

$1111 \cdot 6(10 + 11 + 12 + 13 + 14) = 6666 \cdot 60 = 399\,960.$

Можно было рассуждать и иначе: каждая из цифр во всех числах встречается на каждом месте по 24 раза (6 раз каждый раз кроме того, когда ее отбросили). Поэтому общая сумма равна

$1111 \cdot 24 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 399\,960.$

Answer 2

В разряде n (n от 1 до 4, неважно, старшем, младшем, или двух средних) может стоять одна из пяти цифр 1,2,3,4,5.

Остальные три разряда оставляют нам всего 4 * 3 * 2 = 24 различных вариантов заполнения оставшимися цифрами.

Т.е. каждая из цифр разряда n будет задействована в итоговой сумме 24 раза

Все пять цифр разряда n дадут в итоговую сумму вклад

(1+2+3+4+5)*24*10ⁿ = 15*24*10ⁿ = 360*10ⁿ

Всего в четырёх разрядах получится

360*(10⁴+10³+10²+10¹) = 360 * 1111 = 399960