Question

Решите уравние :
3(sin)^2 x - 0,5 sin 2x = 2

Answer 1

Ответ:

$- \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\left( {\arcsin \frac{1}{{\sqrt {10} }} - \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n,\ k,\ n \in {\rm{Z}}$

Пошаговое объяснение:

Понизим степень, воспользовавшись формулой ${\sin ^2}\alpha = \displaystyle\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}.$

$3 \cdot \displaystyle\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x = 2;\,\,\left| {\,\, \cdot 2} \right.\\\\3 - 3\cos 2x - \sin 2x = 4;\\\\3\cos 2x + \sin 2x = - 1.$

Разделим последнее уравнение на число, равное корню из суммы квадратов коэффициентов при $\cos 2x$ и $\sin 2x$:

$\sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} .$

$\displaystyle\frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos 2x + \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin 2x = - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}.$

Для чисел $\displaystyle\frac{3}{{\sqrt {10} }}$ и $\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}$ выполняется соотношение

${\left( {\displaystyle\frac{3}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} + {\left( {\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} = 1,$

поэтому одно из них может являться синусом, а второе — косинусом некоторого угла $\alpha$, такого, что

$\cos \alpha = \displaystyle\frac{3}{{\sqrt {10} }},\ \sin \alpha = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}.$

Тогда

$\alpha = \arcsin \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}$

и

$\cos \alpha \cos 2x + \sin \alpha \sin 2x = - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}.$

Левая сторона уравнения — формула косинуса разности:

$\cos (2x - \alpha ) = - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }};\\\\2x - \alpha = \pm \arccos \left( { - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + 2\pi n;\\\\2x = \alpha \pm \arccos \left( { - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + 2\pi n;\\\\x = \displaystyle\frac{\alpha }{2} \pm \displaystyle\frac{1}{2}\arccos \left( { - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n;$

$\\x = \displaystyle\frac{1}{2}\arcsin \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }} \pm \displaystyle\frac{1}{2}\arccos \left( { - \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}.$

Полученный ответ можно немного упростить. Разобьем его на две серии, с плюсом и минусом между арккосинусами и воспользуемся тождествами

$\arccos ( - a) = \pi - \arccos a$ и

$\arcsin a + \arccos a = \displaystyle\frac{\pi }{2}$:

$x = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {\arcsin \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }} + \pi - \arccos \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n = \\\\=\displaystyle\frac{\pi }{2} + \displaystyle\frac{1}{2}\left( {\arcsin \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }} - \arccos \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n,$

$x = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {\arcsin \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }} - \pi + \arccos \displaystyle\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right) + \pi n = - \displaystyle\frac{\pi }{4} + \pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}.$

Answer 2

Відповідь:     - π/4 + πn ;  arctg2 + πn ,  nЄ Z .

Покрокове пояснення:

      3sin² x - 0,5 sin 2x = 2 ;

     3sin²x - 0,5 * 2sinxcosx = 2*( sin²x + cos²x ) ;

     3sin²x - sinxcosx - 2sin²x - 2cos²x = 0 ;

        sin²x - sinxcosx -  2cos²x = 0 ; - це однорідне рівняння .

    Поділимо обидві частини рівняння на  сos²x ≠ 0 :

        sin²x/cos²x - sinxcosx/cos²x - 2cos²x/cos²x = 0 ;

          tg²x - tgx - 2 = 0 ;    зробимо заміну   у = tgx :  

           у² - у - 2 = 0 ;    у₁ = - 1 ;      у₂ = 2 . Повенемося до змінної  х  :  

    tgx = - 1 ;                   або                 tgx = 2 ;

    x = - π/4 + πn ,  nЄ Z ;                        x = arctg2 + πn ,  nЄ Z .