Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=x^2*e^(-x) в точке x_0 =1.

Answer 1

Уравнение касательной:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

Рассмотрим функцию:

$y=x^2e^{-x}$

$y(x_0)=y(1)=1^2\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$

$y'=(x^2)'\cdot e^{-x}+x^2\cdot(e^{-x})'=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})=2xe^{-x}-x^2e^{-x}$

$y'(x_0)=y'(1)=2\cdot1\cdot e^{-1}-1^2\cdot e^{-1}=\dfrac{2}{e} -\dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e}$

Составляем уравнение касательной:

$y_k=\dfrac{1}{e} +\dfrac{1}{e} (x-1)=\dfrac{1}{e} +\dfrac{x}{e} -\dfrac{1}{e}=\dfrac{x}{e}$

Ответ: $y_k=\dfrac{x}{e}$