Question

Разложи на множители многчлен

Answer 1

Разложим методом неопределенных коэффициентов.

Многочлен четвертой степени можно разложить в виде

$(y^2+ay+b)(y^2 +cy+d)=y^4+(a+c)y^3+(b+d+ac)y^2+(ad+bc)y+bd$

таким образом, учитывая что мы имеем многочлен с коэффициентами 14, 71, 154 и 120, по методу неопределенных коэффициентов получим систему

$a+c=14$

$b+d+ac=71$

$ad+bc=154$

$bd=120$

методом подбора подберем a = 5, тогда c = 14 - 5 = 9.

подставим их во второе уравнение и получим:

$b+d+45=71$ => $b+d=26$

решим систему из этого и последнего уравнений:

$b+d=26$        - отсюда $b=26-d$

$bd=120$

подставим выраженную $b$ во второе уравнение:

$(26-d)d=120$

$26d-d^2=120$

$-d^2+26d-120=0$ $/ -1$

$d^2-26d+120=0$

корнем уравнения является делитель свободного члена 6

Действительно $6^2-26*6+120=-120+120=0$

Тогда по теореме Виета $d_2 =120/6=20$

Таким образом d равен или 6, или 20

Сделаем обратную замену и получим, что $b_1 =20, b_2 =6$

подставим значения в третье уравнение исходной системы, и найдем подходящую нам пару чисел:

$ad+bc=154$

1) $5 * 6+20*9=154 = > 210\neq 154$

2) $5 * 20 + 9 * 6 =154 = > 154 = 154$

Таким образом, имеем решение системы: $a = 5, b = 6, c = 9, d = 20$

Подставляем найденные коэффициенты:

$(y^2+5y+6)(y^2+9y+20)$

решим уравнения в скобках:

1) $y^2+5y+6=0$

$D=25-4*6=1$

$y_1=-3$

$y_2 =-2$

2) $y^2+9y+20=0$

$D=81-4*20=1$

$y_1=-5$

$y_2=-4$

разложим каждую скобку на множители:

$((y+3)(y+2))((y+5)(y+4))=(y+3)(y+2)(y+5)(y+4)$

Ответ: $y^4+14y^3+71y^2+154y+120=$$(y+3)(y+2)(y+5)(y+4)$

2 более простой метод - подобрать корни среди делителей свободного члена. Так как коэффициент при $y^4$ равен единице, то возможными корнями уравнения могут являться целые делители числа 120: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4$ и так далее.

Недолгим перебором можно подобрать первый корень = -2, и по теореме Безу поделить многочлен на $x+2$:

$(x+2)(x^3+12x^2+47x+60)$

Далее таким же методом ищем корни среди делителей 60, и получаем следующий корень = -3. Таким же образом делим кубический многочлен (вторую скобку) на $(x+3)$, и получаем

$(x+2)(x+3)(x^2+9x+20)$

теперь остается лишь разложить квадратный многочлен во второй скобке, решив его и в итоге получится тот же ответ:

$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$

Answer 2

Ответ:

                $y^4+14y^3+71y^2+154y+120$

Первый корень уравнения подбираем среди делителей свободного члена уравнения, числа 120 . Всего положительных и отрицательных делителей этого числа будет 32 . Но, конечно, надо подумать и примерно понять, какой делитель стоит проверить . Если при проверке делитель не окажется корнем многочлена, то надо проверять другой делитель .

Так как все слагаемые в многочлене имеют знак плюс, а при подстановке числа мы должны в сумме получить 0, то ясно, что надо подбирать отрицательное число .

Если проверить у= -1 , то получим 1-14+71-154+120=192-168=24 ≠ 0

Число у= -1 не является корнем многочлена .

Проверим у= -2 , получим 16-112+284-308+120=420-420=0  .

Число у= -2 является корнем многочлена .

Значит многочлен должен нацело поделиться на разность  у-(-2)=у+2

Выделим такую скобку в многочлене .

Старший член многочлена равен  $y^4$ , а скобка (y+2) должна быть умножена на  $y^3$  , чтобы получить  $y^4$ . Но кроме  y⁴  мы получим ещё и  2y³ , так как   $y^3(y+2)=y^4+2y^3$  .

В многочлене есть слагаемое  $14y^3$ . Заберём от него  $2y^3$  , останется  $12y^3$  .

$y^4+14y^3+71y^2+154y+120=y^3(y+2)+12y^3+71y^2+154y+120$

Теперь опять нужна скобка $(y+2)$ . И её надо умножить на $12y^2$ ,

чтобы получить  $12y^3$  ,    $12y^2(y+2)=12y^3+24y^2$  .   В многочлене есть

слагаемое  $71y^2$  , из него мы заберём   $24y^2$  ,  останется  $47y^2$  .

$y^4+14y^3+71y^2+154y+120=y^3(y+2)+12y^3+71y^2+154y+120=\\\\=y^3(y+2)+12y^2(y+2)+47y^2+154y+120$

И так далее.

$y^3(y+2)+12y^2(y+2)+47y^2+154y+120=\\\\=y^3(y+2)+12y^2(y+2)+47y(y+2)+60y+120=\\\\=y^3(y+2)+12y^2(y+2)+47y(y+2)+60(y+2)$

Осталось вынести (у+2) как общий множитель за скобки, получим

$y^4+14y^3+71y^2+154y+120=y^3(y+2)+12y^2(y+2)+47y(y+2)+60(y+2)=\\\\=(y+2)(y^3+12y^2+47y+60)$

Теперь процедура повторяется . Подбираем корень многочлена 3 степени среди делителей числа 60 .

Попробуем  у= -3 :   -27+108-141+60=0 .  Корень у= -3 .

Выделяем скобку (у+3).

$y^3+12y^2+47y+60=y^2(y+3)+9y^2+47y+60=\\\\=y^2(y+3)+9y(y+3)+20y+60=y^2(y+3)+9y(y+3)+20(y+3)=\\\\=(y+3)(y^2+9y+20)$

Получили   $y^4+14y^3+71y^2+154y+120=(y+2)(y+3)(y^2+9y+20)$  .

По теореме Виета корнями квадратного трёхчлена будут  у= -4 , у= -5

Окончательно получаем

  $\boldsymbol{y^4+14y^3+71y^2+154y+120=(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)}$