Question

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого
кута, а основи відносяться як 3: 13. Знайдіть діагональ
трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції,
дорівнює 13 см.

Answer 1

Ответ:

Диагональ трапеции равна 24 см

Объяснение:

Пусть $BC = x,\ AD = 13x.$

Так как основания $BC$ и $AD$ параллельны, а диагональ $AC$ — секущая, то углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие. Но тогда в треугольнике $ADC$ два одинаковых угла, следовательно он равнобедренный, $AD = CD = AB = 13x$.

Если $CE$ высота, то

$DE = \displaystyle\frac{{AD - BC}}{2} = \displaystyle\frac{{13x - 3x}}{2} = 5x.$

Значит из треугольника $CED$ по теореме Пифагора

$CE = \sqrt {{{(13x)}^2} - {{(5x)}^2}} = 12x.$

Окружность, описанная вокруг трапеции, одновременно описана и вокруг треугольника $ACD$. Ее радиус в треугольнике

$R = 13 = \displaystyle\frac{{abc}}{{4S}};\\\\\displaystyle\frac{{AC \cdot 13x \cdot 13x}}{{4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 13x \cdot 12x}} = 13;\\\\\displaystyle\frac{{AC \cdot 13}}{{24}} = 13;\\\\AC = 24.$