Предмет: Алгебра, автор: Novaya22

100 баллов! срочно
какие есть формулы для решения уравнений
$\sin(x) = - a$
$\cos(x) = - a$
$\tan(x) = - a$
$\cot(x ) = - a$
распишите подробно с примерами

Ответы

Автор ответа: Alexandr130398

для синуса и косинуса есть ограничения на "а"

1) Если -1≤a≤1, то

sinx=-a ⇒ x=(-1)ⁿarcsin(-a)+πn, n∈Z или x=(-1)ⁿ⁺¹arcsin(a)+πn, n∈Z

cosx=-a ⇒ x=±arccos(-a)+2πn, n∈Z или x=π±arccos(a)+2πn, n∈Z

например

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)ⁿarcsin(-1/2)+πn=(-1)ⁿ(-π/6)+πn=(-1)ⁿ⁺¹(π/6)+πn, n∈Z

sinx=0.2 ⇒ x=(-1)ⁿarcsin(0.2)+πn, n∈Z

cosx=√2/2 ⇒ x=±arccos(√2/2)+2πn=±(π/4)+2πn, n∈Z

2) Если a<-1 или a>1, то для синуса и косинуса решений нет!

sinx=1.5 ⇒ корней нет

3) Для тангенса и котангенса ограничений на "а" нет

tan(x)=-a ⇒ x=arctan(-a)+πn, n∈Z или x=-arctan(a)+πn, n∈Z

cot(x)=-a ⇒ x=arccot(-a)+πn, n∈Z или x=π-arccot(a)+πn, n∈Z

Например

tan(x)=-√3 ⇒ x=arctan(-√3)+πn=-π/3+πn, n∈Z

cot(x)=1 ⇒ x=arccot(1)+πn=π/4+πn, n∈Z

Alexandr130398: ой, я ошибся немного, можете пометить решение как неправильное, я исправлю. Конечно там должно быть k вместо n, а k - это целое число

Alexandr130398: я же объяснил выше откуда степень n+1, ну то есть должна быть степень k+1

Alexandr130398: если синус равен отрицательному числу, то в формуле можно ответ записать, как x=(-1)^k * arcsin(-a)+πk, k∈Z. Либо же опираться на то, что арксинус - это нечетная функция, а у таких функций минус можно вынести вперед. И таким образом получится x=-(-1)^k * arcsin(a)+πk, k∈Z.

Alexandr130398: А что такое минус? это по сути число -1 и можно ответ записать как x=(-1)*(-1)^k * arcsin(a)+πk, k∈Z. А по свойству степеней можно чуть упростить. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, степени складываются, то есть (-1)^1 * (-1)^k=(-1)^(k+1)

Alexandr130398: через (-1)^k - это общая формула для синуса. Я лично ее никогда не использую и опираюсь на тригонометрическую окружность

Alexandr130398: можно также записать общий вид для уравнения sinx=a => x=arcsin(a)+2πk, k∈Z - первое решение. x=π-arcsin(a)+πk, k∈Z.

Alexandr130398: - второе решение

Alexandr130398: То есть вот второе решение x=π-arcsin(a)+2πk, k∈Z.

Alexandr130398: а если синус равен отрицательному числу, то легче формулы преобразовать: sinx=-a => x=arcsin(-a)+2πk=-arcsin(a)+2πk, k∈Z. - первое решение. x=π-arcsin(-a)+2πk=π+arcsin(a)+2πk, k∈Z - второе решение

p15: Вот теперь мне все ясно, даже если я не помню эти формулы :)

Автор ответа: NNNLLL54

Ответ:

Известны формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

$\bf 1)\ \ sinx=a\ \ ,\ \ \ x=(-1)^{n}\cdot arcsin\, a+\pi n\ \ ,\ n\in Z\ ,\ \ -1\leq a\leq 1\\\\2)\ \ cosx=a\ \ ,\ \ \ x=\pm arccos \, a+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\ \ ,\ \ -1\leq a\leq 1\\\\3)\ \ tgx=a\ \ ,\ \ \ x=arctg\, a+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\4)\ \ ctgx=a\ \ ,\ \ \ x=arcctg\, a+\pi n\ \ ,\ n\in Z$

Если вместо a в уравнении написано -а , то надо учесть, что

$\bf arcsin(-a)=-arcsin\, a\ \ \ ,\ \ \ arccos(-a)=\pi -arccos\, a\ \ ,\\\\arctg(-a)=-arctg\, a\ \ \ ,\ \ \ arcctg(-a)=\pi -arcctg\, a$

Тогда формулы будут иметь вид:

$1)\ \ \boldsymbol{sinx=-a}\ \ ,\\\\x=(-1)^{n}arcsin(-a)+\pi n=(-1)^{n}\cdot (-arcsin\, a)+\pi n\\\\\boldsymbol{x=(-1)^{n+1}arcsin\, a+\pi n\ ,\ \ n\in Z\ \ ,\ \ -1\leq a\leq 1}\\\\2)\ \ \boldsymbol{cosa=-a}\ \ ,\\\\\boldsymbol{x=\pm arccos(-a)+2\pi n=\pm \Big(\pi -arccos\, a\Big)+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\ ,\ -1\leq a\leq 1}\\\\3)\ \ \boldsymbol{tgx=-a}\\\\\boldsymbol{x=arctg(-a)+\pi n=-arctg\, a+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z}$