Question

ребята пожалуйста что знаете. Буду максимально благодарен!

Answer 1

Ответ:

1) ошибка в условии;

$2)\ x = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,n \in {\rm{Z}};$

$3)\ x = \frac{\pi }{2} + \pi n,\ x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{3}{4} + \pi k,\,\,k \in {\rm{Z}},\,\,n \in {\rm{Z}};$

$4)\ x = \frac{\pi }{4} + 2\pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}$

Пошаговое объяснение:

1) Вероятно, в задании опечатка и следует считать, что под корнем стоит ${x^2} + 3x$, иначе уравнение имеет единственный корень, приблизительно равный $-4{,}7048...$

Тогда делая замену $\sqrt {{x^2} + 3x} = t \ge 0,$ получаем квадратное уравнение ${t^2} - t - 2 = 0.$

По теореме Виета

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 1,\\{t_1}{t_2} = - 2,\end{array} \right.$

откуда ${t_1} = - 1,\ {t_2} = 2.$

Подставляя найденное значение обратно, получаем

$\sqrt {{x^2} + 3x} = 2;\\\\{x^2} + 3x = 4;\\\\{x^2} + 3x - 4 = 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3,\\{x_1}{x_2} = - 4;\end{array} \right.\\\\{x_1} = - 4,\,\,{x_2} = 1.$

2) Применим универсальное тригонометрическое тождество ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.$

$2{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + 2\sin x = 0;\\\\2{\sin ^2}x + 3(1 - {\sin ^2}x) + 2\sin x = 0;\\\\2{\sin ^2}x + 3 - 3{\sin ^2}x + 2\sin x = 0;\\\\{\sin ^2}x - 2\sin x - 3 = 0.$

Сделаем замену $\sin x = t,\,\, - 1 \le t \le 1.$

${t^2} - 2t - 3 = 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2,\\{t_1}{t_2} = - 3;\end{array} \right.\\\\{t_1} = - 1,\,\,{t_2} = 3.$

Второй корень в силу того, что $- 1 \le t \le 1,$ посторонний.

Значит

$\sin x = - 1;\\\\x = - \displaystyle\frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}.$

3) Воспользуемся универсальным тригонометрическим тождеством ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.$

$2{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2({\sin ^2}x + {\cos ^2}x);\\\\2{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x - 2{\cos ^2}x = 0;\\\\3{\cos ^2}x - 4\sin x\cos x = 0;\\\\\cos x(3\cos x - 4\sin x) = 0;\\\\\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0,\\3\cos x - 4\sin x = 0.\end{array} \right.$

Решение первого уравнения —

$x = \displaystyle\frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}.$

Для решения второго уравнения вначале убедимся, что $\cos x = 0$ не является его решением (если это так, то по основному тригонометрическому тождеству $\sin x = \pm 1$ и левая часть не может превращаться в 0). Тогда на $\cos x$ можно разделить обе части:

$3 - 4\displaystyle\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0;\\\\3 - 4{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0;\\\\{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = \displaystyle\frac{3}{4};\\\\x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \displaystyle\frac{3}{4} + \pi k,\,\,k \in {\rm{Z}}.$

4) $\sin x + \cos x = \sqrt 2 .$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt 2$:

$\displaystyle\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \displaystyle\frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = 1.$

Коэффициенты $\displaystyle\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ возле синуса и косинуса — такие числа, сумма квадратов которых равна 1. Значит они могут быть синусом и косинусом какого-то угла (например, $\displaystyle\frac{\pi }{4}$).

Тогда с учетом применения формулы синуса суммы

$\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$

получаем

$\cos \displaystyle\frac{\pi }{4}\sin x + \sin \displaystyle\frac{\pi }{4}\cos x = 1;\\\\\sin \left( {x + \displaystyle\frac{\pi }{4}} \right) = 1;\\\\x + \displaystyle\frac{\pi }{4} = \displaystyle\frac{\pi }{2} + 2\pi n;\\\\x = \displaystyle\frac{\pi }{4} + 2\pi n,\,\,n \in {\rm{Z}}.$