Question

100 баллов! срочно! решить неравенство
$log_{ {x}^{2} }( \frac{2x}{x - 3} ) \leqslant \frac{1}{2}$
при решении использовать 2 случая
${x}^{2} > 1$
$0 < {x}^{2} < 1$
​

Answer 1

Ответ:

$x \in ( - \infty ;\,\, - 1)\cup[5;\,\, + \infty )$

Объяснение:

${\log _{{x^2}}}\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le \displaystyle\frac{1}{2};\\\\{\log _{{x^2}}}\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le \displaystyle\frac{1}{2}{\log _{{x^2}}}{x^2};\\\\{\log _{{x^2}}}\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le {\log _{{x^2}}}\left| x \right|.$

При $0 < {x^2} < 1$ логарифм убывающая функция, а при ${x^2} > 1$ — возрастающая. С учетом этого получаем:

$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < {x^2} < 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \ge \left| x \right|;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 1,\\0 < \displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le \left| x \right|.\end{array} \right.\end{array} \right.$

Рассмотрим каждую из систем отдельно.

$\left\{ \begin{array}{l}0 < {x^2} < 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \ge \left| x \right|;\end{array} \right.$

При $x > 0$

$\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \ge x,\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1,\\\displaystyle\frac{{{x^2} - 5x}}{{x - 3}} \le 0,\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1,\\\displaystyle\frac{{x(x - 5)}}{{x - 3}} \le 0.\end{array} \right.$

При указанных значения переменной левая часть неравенства всегда положительна.

при $x < 0$

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 0,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \ge - x,\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 0,\\\displaystyle\frac{{{x^2} - x}}{{x - 3}} \ge 0,\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 0,\\\displaystyle\frac{{x(x - 1)}}{{x - 3}} \ge 0.\end{array} \right.$

При указанных значения параметра левая часть неравенства всегда отрицательна.

Таким образом, первая из систем решений не имеет.

Рассмотрим вторую систему:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 1,\\0 < \displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le \left| x \right|.\end{array} \right.$

При $x > 0$

$\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\0 < \displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le x;\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} > 0,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le x;\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} > 0,\\\displaystyle\frac{{{x^2} - 5x}}{{x - 3}} \ge 0;\end{array} \right.$

$x \in [5;\,\, + \infty )$ (см. рис.).

При $x < 0$

$\left\{ \begin{array}{l}x < - 1,\\0 < \displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le - x;\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}x < - 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} > 0,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} \le - x;\end{array} \right.$  $\left\{ \begin{array}{l}x < - 1,\\\displaystyle\frac{{2x}}{{x - 3}} > 0,\\\displaystyle\frac{{{x^2} - x}}{{x - 3}} \le 0;\end{array} \right.$

$x \in ( - \infty ;\,\, - 1)$ (см. рис.).