Question

14. Чи існують цілі числа x, y, z, які задовольняють рівність (x+y)(y+a)(z+x)=2015

Answer 1

Ответ:

Не существует.

Объяснение:

2015 = 31 * 13 * 5

x+y=31

y+z=13

x+z=5

y=13-z

x=5-z

(5-z)+(13-z)=31

18-2z=31

2z=-13

z=-6.5

y=19.5

x=11.5

Не целые числа.

Вывод: Целых чисел дающие 2015 нет.

Answer 2

Ответ:

Таких целых чисел не существует

Объяснение:

Разложим число 2015 на простые множители и выпишем все его делители:

$2015 = 1 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 31\\\\1 - 5 - 13 - 31 - 65 - 155 - 403 - 2015$

Если такие целые числа $x,\ y,\ z$ существуют, то и их суммы также целые. Значит нужно представить 2015 в виде произведения трех целых сомножителей.

Это можно сделать одним из таких способов:

$1 \cdot 1 \cdot 2015;\\\\1 \cdot 5 \cdot 403;\\\\1 \cdot 13 \cdot 155;\\\\1 \cdot 31 \cdot 65;\\\\5 \cdot 13 \cdot 31.$

В указанных произведениях любые два из сомножителей могут иметь и отрицательный знак.

Далее, если разбирать любой из приведенных случаев, задача сводится к решению системы уравнений

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = a,\\y + z = b,\\z + x = c,\end{array} \right.$

которая проще всего решается путем сложения всех трех уравнений: $2(x + y + z) = a + b + c.$

Целые корни будут только тогда, когда с правой стороны получится четное число.

Но суммы всех разложений, приведенных выше (2017, 409, 169, 97, 49) нечетные. Если какой-либо из сомножителей $t$ входит со знаком минус, приведенная сумма уменьшается на значение $2t$, т. е. остается нечетной.

Следовательно, таких целых чисел $x,\ y,\ z$ не существует.