Пусть a, b, c –– целые числа. Докажите, что хотя бы
одно из чисел a^2 + ac+ bc− b, b^2 + ab + ac− c, c^2+ ab+ bc− a
неотрицательно.
Ответы
Объяснение:
Если все три числа a^2 + ac+ bc− b, b^2 + ab + ac− c, c^2+ ab+ bc− a отрицательные то и их сумма будет число отрицательное (как сумма трех отрицательных чисел)
С другой стороны:
(a^2 + ac+ bc− b)+ (b^2 + ab + ac− c)+(c^2+ ab+ bc− a)=
a^2 + ac+ bc− b+ b^2 + ab + ac− c+c^2+ ab+ bc− a=
a^2+ b^2+c^2+2ab+2ac+ 2bc-a− b− c=
(a^2+ b^2+c^2+2ab+2ac+ 2bc)-(a+b+c)=
(a+b+c)^2-(a+b+c)*1=(a+b+c)((a+b+c)-1) (*)
a+b+c- целое число как сумма трех целых чисел
Если (a+b+c)<0, то ((a+b+c)-1)<0-1=-1<0 : (a+b+c)((a+b+c)-1)>0
Если (a+b+c)=0, то ((a+b+c)-1)=0-1=-1 : (a+b+c)((a+b+c)-1)=0
Если (a+b+c)=1, то ((a+b+c)-1)=1-1=0 : (a+b+c)((a+b+c)-1)=0
Если (a+b+c)>1>0, то ((a+b+c)-1)>1-1=0 : (a+b+c)((a+b+c)-1)>0
а значит (a+b+c)((a+b+c)-1) >=0. (Пришли к противоречию)
а значит хотя бы одно из чисел a^2 + ac+ bc− b, b^2 + ab + ac− c, c^2+ ab+ bc− a неотрицательно. Доказано