Коля посчитал произведения 1*2, 2*3, 3*4, .... 999*1000. у скольки из них последние две цифры нули?
помогите пожалуйста!!
Ответы
Ответ:
39
Пошаговое объяснение:
Чтобы произведение двух чисел оканчивалось на 00, необходимо, чтобы среди множителей этого произведения было 100 = 2²·5². Поскольку каждое произведение состоит из двух идущих подряд чисел, то они взаимно просты. Значит, не может быть такого, чтобы в разложении двух этих чисел и там и там были двойки или пятёрки. Таким образом, нам необходимо найти пары чисел вида 4k·25m и 100k·m.
Случай 1: 100k·m.
Необходимо просто посчитать пары с сотнями и добавить к ним последнюю пару 999·1000. На каждую сотню (100, 200, ..., 900) приходится по две пары (99·100 и 100·101, 199·200 и 200·201 и т. д.), то есть в данном случае искомых произведений 9·2 + 1 = 19.
Случай 2: 4k·25m.
Пусть дано некоторое число 25m. Тогда 25m - 1 или 25m + 1 должно делиться на 4. Разобьём это на два подслучая:
Случай 2.1: 25m - 1 = 4k.
Правая часть делится на 4, значит, и левая тоже делится на 4, иначе говоря, 25m - 1 ≡ 0 (mod 4) ⇔ 25m ≡ 1 (mod 4) ⇔ m ≡ 1 (mod 4). Здесь нам подходят m = 1, 5, 9..., то есть числа 25, 125, 225... Последнее число в этом ряду, очевидно, 925, и всего таких чисел (а значит, и пар) 10.
Случай 2.2: 25m + 1 = 4k.
Аналогично 25m + 1 ≡ 0 (mod 4) ⇔ 25m ≡ -1 ≡ 3 (mod 4) ⇔ m ≡ 3 (mod 4). Подходят числа 75, 175, ..., 975 — их 10 штук.
Всего подходящих пар 19 + 10 + 10 = 39.