Question

Найти остаток от деления 4×203^2021+5×204^2021+6×205^2021+...+12×211^2021 на 7

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

Исследуем сравнения по модулю 7 каждого из слагаемых,

Воспользуемся допустимыми для сравнений свойствами:

* если $a \equiv b\,\,(\bmod n)$ и $c \equiv d\,\,(\bmod n),$ то $a + b \equiv c + d\,\,(\bmod n),$ а $ab \equiv cd\,\,(\bmod n);$

* ${(an + r)^k} \equiv {r^k}\,\,(\bmod n).$

В частности, используем очевидные сравнения $8 \equiv 1\,\,(\bmod 7)$ и $27 \equiv - 1\,\,(\bmod 7).$

Для облегчения расчетов проведем предварительные вычисления.

${1^{2021}} \equiv 1\,\,(\bmod 7);$

${2^{2021}} = {2^2} \cdot {2^{2019}} = {2^2} \cdot {({2^3})^{673}} = 4 \cdot {8^{673}} \equiv 4 \cdot {1^{673}}\,\,(\bmod 7) \equiv - 3\,\,(\bmod 7);$

${3^{2021}} = {3^2} \cdot {3^{2019}} = {3^2} \cdot {({3^3})^{673}} = 9 \cdot {(27)^{673}} \equiv 2 \cdot {( - 1)^{673}}\,\,(\bmod 7) \equiv - 2\,\,(\bmod 7);$

${4^{2021}} \equiv {( - 3)^{2021}}\,\,(\bmod 7) = - {3^{2021}}\,\,(\bmod 7) \equiv 2\,\,(\bmod 7);$

${5^{2021}} \equiv {( - 2)^{2021}}\,\,(\bmod 7) = - {2^{2021}}\,\,(\bmod 7) \equiv 3\,\,(\bmod 7);$

${6^{2021}} \equiv {( - 1)^{2021}}\,\,(\bmod 7) = - {1^{2021}}\,\,(\bmod 7) \equiv - 1\,\,(\bmod 7).$

Так как

$203 \equiv 0\,\,(\bmod 7),\,\,204 \equiv 1\,\,(\bmod 7),\,\,205 \equiv 2\,\,(\bmod 7),\,\,\\\\206 \equiv 3\,\,(\bmod 7),\,\,207 \equiv 4\,\,(\bmod 7),\,\,208 \equiv 5\,\,(\bmod 7),\,\\\\209 \equiv 6\,\,(\bmod 7),\,\,210 \equiv 0\,\,(\bmod 7),\,\,211 \equiv 1\,\,(\bmod 7),$

то  

$4 \cdot {203^{2021}} + 5 \cdot {204^{2021}} + 6 \cdot {205^{2021}} + \ldots + 12 \cdot {211^{2021}} \equiv\\\\\equiv(4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot ( - 3) + 0 \cdot ( - 2) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot ( - 1) + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1)\,\,(\bmod 7) =\\\\= - 3\,\,(\bmod 7) \equiv 4\,\,(\bmod 7).$