Question

О - это центр вписанной окружности прямоугольного треугольника с прямым углом С. АС = 3, ВС = 4. Найти угол АОВ. Найти площадь треугольника АОВ.

Answer 1

Ответ: ∠AOB=135°  

S(AOB)=2.5

Объяснение:

AB= 5  (AB² =AC²+BC² ; 3²+4²=5²)

Пусть N -точка касания окружности катета АС, М- точка касания катета СВ, а L - гипотенузы АВ.

Пусть LA=NA=x => CN=CM=3-x => BM=BL=4-(3-x)=1+x

=> AB=LA+BL=1+x+x=5

2x=4  =>  x=2 => NO =CM=NC=1 ( O-  центр вписанной окружности)

По т Пифагора AO= $\sqrt{AN^2+NO^2} =\sqrt{5}$

Аналогично ВО =$\sqrt{BM^2+MO^2} =\sqrt{9+1} =\sqrt{10}$

Применим т косинусов  к треугольнику АОB

AB²= AO²+BO²-2AO*BO*cos AOB

25=10+5-2*√10*√5*cosAOB => -2√50*cos AOB=10

cos AOB= -1/√2  => ∠AOB=135°  

S(AOB)= 0.5*AB*LO= 0.5*5*1=2.5