Question

Решить по схеме Горнера
24x⁴+16x³3x-2=0;
x³ +5x² +15x+27=0;
27x³-15x² +5x-1=0.​​

Answer 1

Ответ:

1) $1)\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{2};\ 2)\ -3;\ 3)\ \frac{1}{3}$

Объяснение:

Если приведенный (старший коэффициент равен 1) многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Если неприведенный (старший коэффициент не равен 1) многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами имеет рациональные корни, то они являются несократимыми дробями, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Схема Горнера позволяет легко установить остаток от деления и коэффициенты частного от деления многочлена $P(x)$ на бином $x - a.$ В случае, если $x = a$ является корнем этого многочлена, остаток будет равен 0.

Для примера, кубический многочлен $P(x) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3},$ двучлен $x - a.$

Составляем таблицу (см. рис), правило заполнения которой см. на рис. ниже.

Это эквивалентно такой записи:

${a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3} = (x - a)({b_0}{x^2} + {b_1}x + {b_2}) + r.$

1) $24{x^4} + 16{x^3} - 3x - 2 = 0.$

Если такое уравнение имеет рациональные корни, то они находятся среди чисел

$\pm \displaystyle\frac{1}{{24}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{{12}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{8},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{6},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{4},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{3},\,\, \pm \displaystyle\frac{2}{3},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{2},\,\, \pm 1,\,\, \pm 2$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение

$24{x^2} + 12x + 6 = 0;\\\\4{x^2} + 2x + 1 = 0$

корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {2^2} - 4 \cdot 4 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корни

$x = \displaystyle\frac{1}{2},\ x = - \displaystyle\frac{2}{3}.$

2) ${x^3} + 5{x^2} + 15x + 27 = 0.$

Ищем целый корень этого уравнения среди делителей свободного члена:  $\pm 1,\,\, \pm 3,\,\, \pm 9,\,\, \pm 27.$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение ${x^2} + 2x + 9 = 0$ корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {2^2} - 4 \cdot 9 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корень $x = - 3.$

3) $27{x^3} - 15{x^2} + 5x - 1 = 0.$

Ищем рациональный корень этого уравнения среди чисел $\pm \displaystyle\frac{1}{{27}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{9},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{3},\,\, \pm 1.$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение

$27{x^2} - 6x + 3 = 0;\\\\9{x^2} - 2x + 1 = 0$

корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {( - 2)^2} - 4 \cdot 9 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корень $x = \displaystyle\frac{1}{3}.$