Question

Основи трапеції дорівнюють 2 см і 8 см. Знайдіть радіуси двох кіл:
вписаного в трапецію й описаного навколо неї, коли відомо, що такі
кола існують.

Answer 1

Ответ:

$r=2,\ R=\frac{{5\sqrt {41} }}{8}$

Объяснение:

Условием того, что в четырехугольник можно вписать окружность, является равенство сумм противоположных сторон. Так как основания равны 2 и 8, то сумма боковых сторон равна $2 + 8 = 10,$ значит каждая из боковых сторон по 5.

Опустим высоты $BF$ и $CE$ на нижнее основание, тогда

$AF = ED = \displaystyle\frac{{8 - 2}}{2} = 3.$

По теореме Пифагора из треугольника $CED$ $\[CE = h = \sqrt {C{D^2} - E{D^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4.\]$

$r = \displaystyle\frac{h}{2} = \displaystyle\frac{4}{2} = 2.$

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника $ACD.$ Найдем радиус описанной окружности в этом треугольнике. Из треугольника $AEC$ по теореме Пифагора

$AC = \sqrt {A{E^2} + C{E^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41}\cdot {S_{AEC}} = \displaystyle\frac{1}{2}AD \cdot CE = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Тогда

$R = \displaystyle\frac{{abc}}{{4S}} = \displaystyle\frac{{\sqrt {41} \cdot 5 \cdot 8}}{{4 \cdot 16}} = \displaystyle\frac{{5\sqrt {41} }}{8}.$