Question

Распишите подробно пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{1}{2} .$

Пошаговое объяснение:

$sin \dfrac{3\pi }{14} -sin \dfrac{\pi }{14} -sin \dfrac{5\pi }{14}$

Воспользуемся формулой

$sin\alpha -sin\beta =2sin \dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}$

$sin \dfrac{3\pi }{14} -sin \dfrac{\pi }{14} -sin \dfrac{5\pi }{14}=\left(sin \dfrac{3\pi }{14} -sin \dfrac{5\pi }{14}\right) -sin \dfrac{\pi }{14}= 2sin (-\dfrac{\pi }{14} )\cdot cos \dfrac{2\pi }{7} -sin \dfrac{\pi }{14}=-2sin \dfrac{\pi }{14} \cdot cos \dfrac{2\pi }{7} -sin \dfrac{\pi }{14}=-sin\dfrac{\pi }{14}\left(2cos \dfrac{2\pi }{7} +1\right)$

Умножим и разделим данное выражение на $2 cos \dfrac{\pi }{14} \neq 0.$

А затем применим формулу синуса двойного угла

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos \alpha$

$\dfrac{-2sin\dfrac{\pi }{14}\cdot cos\dfrac{\pi }{14}\cdot ( 2cos \dfrac{2\pi }{7} +1)}{2cos \dfrac{\pi }{14}} =\dfrac{-sin \dfrac{\pi }{7} \cdot ( 2cos \dfrac{2\pi }{7} +1)}{2cos \dfrac{\pi }{14}} =\dfrac{-2sin\dfrac{\pi }{7} \cdot cos\dfrac{2\pi }{7} -sin \dfrac{\pi }{7} }{2cos \dfrac{\pi }{14}}$

Выполним умножение синуса на косинус  в числителе , применяя формулу

$sin\alpha \cdot cos \beta =\dfrac{1}{2} \left(sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )\right)$

В знаменателе применим формулы приведения

$cos\left(\dfrac{\pi }{2} -\alpha \right)=sin\alpha$

$\dfrac{-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot( sin \dfrac{3\pi }{7} -sin \dfrac{\pi }{7} )-sin\dfrac{\pi }{7} }{2cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{3\pi }{7} \right) } =\dfrac{-sin\dfrac{3\pi }{7}+sin\dfrac{\pi }{7}-sin\dfrac{\pi }{7}}{2sin\dfrac{3\pi }{7}} =\dfrac{-sin\dfrac{3\pi }{7}}{2sin\dfrac{3\pi }{7}} =-\dfrac{1}{2} .$

Answer 2

Ответ:

–0,5

Пошаговое объяснение:

По формуле приведения $\cos \left( {\displaystyle\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha$  получаем, что

$\sin \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}} = \cos \left( {\displaystyle\frac{\pi }{2} - \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}}} \right) = \cos \displaystyle\frac{\pi }{7}.$

Применяя формулу разности синусов

$\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \displaystyle\frac{{\alpha - \beta }}{2}\cos \displaystyle\frac{{\alpha + \beta }}{2},$

выходит

$\[\sin \displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}} - \sin \displaystyle\frac{\pi }{{14}} - \sin \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}} = 2\sin \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}} - \displaystyle\frac{\pi }{{14}}}}{2}\cos \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}} + \displaystyle\frac{\pi }{{14}}}}{2} = 2\sin \displaystyle\frac{\pi }{{14}}\cos \displaystyle\frac{\pi }{7} - \cos \displaystyle\frac{\pi }{7}.\]$

Домножим и поделим это выражение на $\sin \displaystyle\frac{\pi }{7} \ne 0:$

$\[\displaystyle\frac{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}\left( {2\sin \displaystyle\frac{\pi }{{14}}\cos \displaystyle\frac{\pi }{7} - \cos \displaystyle\frac{\pi }{7}} \right)}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}} = \displaystyle\frac{{2\sin \displaystyle\frac{\pi }{{14}}\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}\cos \displaystyle\frac{\pi }{7} - \sin \displaystyle\frac{\pi }{7}\cos \displaystyle\frac{\pi }{7}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}}\].$

По формуле синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha ,$ применим эту формулу дважды к произведению $\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}\cos \displaystyle\frac{\pi }{7}:$

$\[\displaystyle\frac{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{{14}}\sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7} - \displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}}\].$

Разложим произведение синусов по формуле

$\sin \alpha \sin \beta = \displaystyle\frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta )):$

$\[\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{1}{2}\cos \displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}} - \displaystyle\frac{1}{2}\cos \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}} - \displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}}\].$

По формуле приведения $\sin \left( {\displaystyle\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha$ получаем, что

$\cos \displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}} = \sin \left( {\displaystyle\frac{\pi }{2} - \displaystyle\frac{{3\pi }}{{14}}} \right) = \sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7},$

тогда

$\[\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7} - \displaystyle\frac{1}{2}\cos \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}} - \displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}} = - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{{\cos \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}}.\]$

Но

$\cos \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}} = \sin \left( {\displaystyle\frac{\pi }{2} - \displaystyle\frac{{5\pi }}{{14}}} \right) = \sin \displaystyle\frac{\pi }{7},$

значит

$\[ - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}}{{\sin \displaystyle\frac{\pi }{7}}} = - \displaystyle\frac{1}{2} = - 0{,}5.\]$