Question

Кінці більшої бічної сторони прямокутної трапеції віддалені від центра
вписаної у неї кола на 15 см і 20 см. Обчисліть периметр трапеції.

Answer 1

Ответ:

Периметр трапеции равен 98 см.

Объяснение:

• Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит в точке пересечения биссектрис.

ОВ = 15 см

OА = 20 см

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° (внутренние односторонние), тогда сумма из половинок равна 90°:

∠DAB + ∠CBA = 180°  ⇒   ∠ОАВ + ∠ОВА = 90°   ⇒

∠АОВ = 90° из треугольника АОВ.

По теореме Пифагора:

АВ = √(ОА² + ОВ²) = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25 см

Проведем ОК, ОМ и ОТ - радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам трапеции по свойству касательной.

ОК - высота прямоугольного треугольника АОВ, значит

$OK=\dfrac{OA\cdot OB}{AB}=\dfrac{20\cdot 15}{25}=12$ см

ΔВОК:   ∠ВКО = 90°, по теореме Пифагора

ВК = √(ОВ² - ОК²) = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9 см

АК = АВ - ВК = 25 - 9 = 16 см

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Тогда МВ = ВК = 9 см

ТА = АК = 16 см

Проведем ВН - высоту трапеции. ВНТМ прямоугольник, значит

ТН = МВ = 9 см

АН = АТ - ТН = 16 - 9 = 7 см

ΔАВН:  ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

ВН = √(АВ² - АН²) = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см

CD = BH = 24 см, так как трапеция прямоугольная.

• Если в четырехугольник вписана окружность,  то суммы противолежащих сторон равны.

AB + CD = AD + BC

Тогда периметр трапеции:

P = AB + CD + AD + BC =2(AB + CD) = 2 · (25 + 24) = 2 · 49 = 98 см