Кінці більшої бічної сторони прямокутної трапеції віддалені від центра
вписаної у неї кола на 15 см і 20 см. Обчисліть периметр трапеції.
Ответы
Ответ:
Периметр трапеции равен 98 см.
Объяснение:
- Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит в точке пересечения биссектрис.
ОВ = 15 см
OА = 20 см
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° (внутренние односторонние), тогда сумма из половинок равна 90°:
∠DAB + ∠CBA = 180° ⇒ ∠ОАВ + ∠ОВА = 90° ⇒
∠АОВ = 90° из треугольника АОВ.
По теореме Пифагора:
АВ = √(ОА² + ОВ²) = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25 см
Проведем ОК, ОМ и ОТ - радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам трапеции по свойству касательной.
ОК - высота прямоугольного треугольника АОВ, значит
см
ΔВОК: ∠ВКО = 90°, по теореме Пифагора
ВК = √(ОВ² - ОК²) = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9 см
АК = АВ - ВК = 25 - 9 = 16 см
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Тогда МВ = ВК = 9 см
ТА = АК = 16 см
Проведем ВН - высоту трапеции. ВНТМ прямоугольник, значит
ТН = МВ = 9 см
АН = АТ - ТН = 16 - 9 = 7 см
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см
CD = BH = 24 см, так как трапеция прямоугольная.
- Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны.
AB + CD = AD + BC
Тогда периметр трапеции:
P = AB + CD + AD + BC =2(AB + CD) = 2 · (25 + 24) = 2 · 49 = 98 см
