Question

Найти остаток от деления 23^34+56^67 на 9

Answer 1

Два числа называются равными по модулю N, если одно из них получено путем прибавления к другому (или вычитания от другого) некоторого количества раз числа N:

$A\equiv A+kN\pmod{N},\ k\in\mathbb{Z}$

Свойство равенства по модулю:

$A^B\equiv (A+kN)^B\pmod{N},\ k\in\mathbb{Z}$

Числа, равные по модулю N, дают при делении на N равные остатки.

Преобразуем первое слагаемое:

$23^{34}=(-4+3\cdot9)^{34}\equiv(-4)^{34}=4^{34}=2^{68}=2^2\cdot2^{66}=4\cdot(2^3)^{22}=4\cdot8^{22}=$

$=4\cdot(-1+9)^{22}\equiv4\cdot(-1)^{22}=4\cdot1=4\pmod{9}$

Преобразуем второе слагаемое:

$56^{67}=(2+6\cdot9)^{67}\equiv2^{67}=2\cdot2^{66}=2\cdot(2^3)^{22}=2\cdot8^{22}=$

$=2\cdot(-1+9)^{22}\equiv2\cdot(-1)^{22}=2\cdot1=2\pmod{9}$

Тогда:

$23^{34}+56^{67}\equiv4+2=6\pmod{9}$

Число $23^{34}+56^{67}$, также как и равное ему по модулю 9 число 6, дает при делении на 9 остаток 6.

Ответ: 6